山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1

z x y
f 13
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y

z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。
f2
y z
2

x y
2
f1
1 z
f2
f2
f2
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
练习2 设
z x
2
求
f2
f 11 f 21 f 23
x
y x
y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z x z y z x f x
z f
f1 f 2 1 f2 2
x
v
x y
注意: 这里
z x
与
f2 yz y z f 2 ( x y z, x y z ) f12 x y
2
f 22 x y
2
f x y f11 y( x z ) f12 zf f,22 f yf 2 f , 为简便起见 , 引入记号 1 12 u u v
解:
dz z du dt u d t z t
t
dz dt
.
z
u v t
ve
t
t
cos t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
z
u
v
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
t
有增量△u ,△v ,
z z u u z v v o ( )
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
z t

z u u t

z v v t

o( ) t
(
(u ) (v) )
u
e sin v
u
e cos v 1
u
z
u v yx y
z y
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
2
例2. u f ( x, y, z ) e
解:
u x f x
2 2 2
x y z
d ( x y) (d x d y )
e
xy
[ y sin( x y ) cos( x y)]d x
dy
所以 例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z .
x y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
u (t ) , v (t ) , w (t )
dz z dv z dw z du v d t w d t dt u d t f1 f 2 f 3
z
u
t
v
t
w
t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f (u, v) ,
z
u ( x, y ) ,
v ( x, y )
z u z v f11 f 2 1 x u x v x
z
u v
z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y z
f x
不同,
f x
表示固定 y 对 x 求导,
表示固定 v 对 x 求导
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
2
2
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
o( )
z
u v
t
t

(△t＜0 时,根式前加“–”号)
dz z d u z dv d t u d t v d t
( 全导数公式 )
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
1 ;
2
x
y v x y
2. 全微分形式不变性
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
作业：p-82习题9-4
2; 4; 6; 9; 10; 11;12(4)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例4. 设
w w 求 , . x x z
2
f 具有二阶连续偏导数,
w , f1 , f 2
解: 令 u x y z , v x y z , 则
w f (u, v)
w x
w x z
2
u
v
x y z x y z
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例 5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
d (x y)
( yd x xd y)
2
2
u u , , z x sin y, 求 x y
2
2 xe
x y z
2z e
2
x sin y
4 2
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
u y f y
2
2
x y x sin
y

2
f
2
z y