多元复合函数的求导法则
薛星美
链式规则 一阶全微分的形式不变性
dyf '(x)dx.
1. y f (x) 是一元函数 2. y f (x) 是多元函数
f(x)gradf dx 是列向量
3. y f (x) 是向量值函数
f (x) Jf (x) dx 是列向量
一元复合函数 y f(u )u ,(x )
x x2
x
f2(x,x2)1
链式法则的矩阵表示：
z zxzy u x u y u
z zxzy v x v y v
x
(z u
,
z) v
(z x
,
z
)
y
u y
u
x
v y
v
推广到一般多元复合函数
设 f:D f R m R , z f(y 1 ,y 2 , ,y m ),
g:Dg Rn Rm: (x 1 ,x 2 , ,x n )(y 1 ,y 2 , ,y m ),
r
xy xy
已知 u x u rcos usrin
u ux
(2)
2u x2
(( uu )) cos
rx xx
(
u x
)
在点(x(t),y(t)) 处可微, 则复合函数 zf(x(t),y(t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz zdxzdy dt x dt y dt
由此立即可得到定理12.2.1.
定理. 若函数 g在 点 (u,v)D g可 导 , z f (x,y)
在 点 ( x ,y )( x x ( u ,v ) ,y y ( u ,v ) )处可微, 则复合函数
在何条件下复合函数可偏导？ 偏导数如何计算？
讨论的是偏导数，先假设g是一元二维函数
设函数 x x (t),y y (t)在 点 t可 导 ,
z f (x, y)在点(x, y)处可微 (xx(t),yy(t))
讨论复合函数 zf(x(t),y(t))关于 t 可导性
定理. 若函数 x x (t),y y (t)在 点 t可 导 ,z f (x,y)
例. 设 z e u sv i ,u n x y ,v x y ,求 z , z . x y
解: z z u z v x u x v x
eusinv y eucovs1
z
e x y [ysix n y ) (co x y s )( ]u v
z z u z v y u y v y
zf(x(u ,v),y(u ,v))
在 点 (u,v)可 偏 导，且有链式法则
z zxzy u x u y u
z zxzy v x v y v
z f (x, y) 的可微性减弱为可偏导时，结论是否成立？
例如:
zf(x, y)
x2 y ,
x2 y2
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
xt, yt
多元复合函数导数链式法则的矩阵表示
( z , z ,L , z ) ( z ,L , z )
x1 x2
xn
y1
ym
y1
x1 y2
x1 M
y1 L x2 y2 L x2
MO
y1
xn y2
xn M
Байду номын сангаас
ym
x1
ym L x2
ym
xn
grad(fog)(x)gradf (y) J g ( x )
为区D域 g Rn上的 n元m维向量值 , 函
如果 g的值g(域 Gg)Df ,则可得复合函
z f g f( y 1 ( x 1 , x n ) ,y m ( x 1 , ,x n ))
设 g 可 导 ,f可 微 ,则 复 合 函 数 可 导 ,且
z x i z y 1 y 1 x i z y 2 y 2 x i L z y m y m x i,i 1 ,2 ,L ,n .
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
例. 已知 f(x,y)yx2 1, f1(x,y) yx2 2x, 求
f2(x, y) yx2.
z
解: 设 z = f(x,x2 ) 则 z 1
对 zf(x,x2)1两边关于 x 求导, 得 f1 (x ,x 2 ) f2 (x ,x 2 )2 x 0 f1(x,x2)2x
x
x r x x
u
r
x yx y
(当在二、r 三 x象限co时s,,
x r
x ar1ctax(2ynxyxy )2 )
s
in r
urcosusirn
u u r u y r y y
rysin,
1 x
co s
y r
y 1(x y)2 r
ursinucros
u
( u x)2 ( u y)2 ( u r)2 r 1 2( u )2
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [xsix n y ) (co x y s )( ]
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又如, z f(x ,v ),其 中 v(x ,y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z x
f x
f v
v x
f1 f2 1
z y
f v
v y
f22
求导法则
dy dy du dx du dx
一阶微分形式不变性
d y f ( u ) d u f ( u ) ( x ) d x
对多元复合函数成立吗？
复合函数
设 zf(x,y),(x,y) D f R 2
Dg
设g:Dg R2
g
f og
可构造复合函数
f
Df
R
z fo g f[ x ( u ,v ) ,y ( u ,v ) ] ,( u ,v ) D g
易知:
z x
(0,0) fx(0,0)0,
z y
(0,0) fy(0,0)0
但复合函数 zf(t,t) t 2
dz1 dt 2
xz
dx dt
z y
dy dt
0 1 0 1 0
“分线加 ，沿线乘”或 “并联加 ，串联乘”
z
xy u vu v
z zxzy u x u y u z zxzy v x v y v
用导数记号表示：
(fog)'(x)f'(y)yg(x)g'(x).
例. 设 uf(x,y)二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
(1)(u)2(u)2, (2) x y
x 2u 2 y 2u 2
解: 已知 x rco ,ys rsi, n 则
r x2y2,arcytan
(1) u u r u