6EIl
Mechanics of Materials
wmax 在AC段
wmax
=
Fb( l 2 − b2 )3 2 9 3EIl
Mechanics of Materials
例题：已知梁的刚度EI，用奇异函数法求梁的位移
θA、θD、wB、wD。
qa
q
A
B
C Dx
FA a
y
aa
FC
解：建立图示坐标系
1、求约束反力
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
Mechanics of Materials
若挠曲线是较平坦的光滑连续曲线， w′ << 1，
可忽略不计。
则
M (x) = −w′′
EI
即
EIw′′ = − M (x)
——挠曲线近似微分方程
适用条件： 线弹性小变形； 对称弯曲的细长梁。
2、积分法确定梁的位移
一、挠曲线近似微分方程
材力 数学
1 = M(x)
ρ EI
( ) 1 = w′′
ρ 1 + w′2 3 2
x y M > 0 w′′ < 0
( ) M(x) = ± EI
w′′ 1+ w′2
32
x
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
y M < 0 w′′ > 0
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
2
Mechanics of Materials
弯矩的通用方程
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) M x =
i
Mi < x −ai >0 +
j
Fj < x − bj > +
k
qk 2
<
x − ck
>2
−
k
qk 2
< x − dk
>2
说明：
☻Mi以顺时针为正，Fj、qk以向上为正。
☻Mi、Fj包括外载荷和约束反力。 ☻ai、bj分别是集中力偶和集中力作用点的坐标，
b2
x
EIw2=
−
Fb 6l
x3
+
F(x −
6
a)3
+
Fb
l2 − 6l
b2
x
4、最大转角和最大挠度
a Fb
( ) θA
=
Fb l 2 − b2 6EIl
= Fab(l + b)
6EIl
A FA y
lC
Bx FB
( ) θB
=
−
Fbl 2 2EIl
+
Fb2 2EI
+
Fb l 2 − b2 6EIl
= − Fab(l + a)
6EIl
若a>b，
θmax
=
Fab(l + a)
6EIl
Mechanics of Materials
( ) EIw1′
=
−
Fb 2l
x2
+
Fb
l2 − 6l
b2
( ) EIw′2
=
−
Fb 2l
x2
+
F(x −
2
a)2
+
Fb
l2 − 6l
b2
( ) ( ) EIw1
=
−
Fb 6l
x3
+
Fb
l2 − 6l
4
4
2
3、转角方程和挠度方程
EIθ = − qa x2 + qa < x − a >2 − 7qa < x − 2a >2+ q < x − 2a >3 +C
8
2
8
6
EIw = − qa x3 + qa < x − a >3 − 7qa < x − 2a >3
24 6
24
+ q < x − 2a >4 +Cx + D 24
M(x)= M < x − a >0
2、仅有F作用的情况
M(x) = F < x − b >1
3、仅有q作用的情况
M
x
x
a
y
F
bx
y
x
q
M(x)= q < x − c >2
c
x
2
x
y
4、M、F、q共同作用的情况
M(x) = M < x − a >0+ F < x − b >1 + q < x − c >2
挠度w——向下为正，向上为负。
转角θ——顺时针为正，逆时针为负。
挠度w 转角θ
x
转角θ 挠曲线
y
线弹性小变形状态，挠曲线为光滑平坦的曲 线，故挠度和转角是位置坐标的函数。
即
w = w( x ) θ = θ( x )θ很Leabharlann 时，θ≈tan
θ
=
dw dx
Mechanics of Materials
§2 挠曲线近似微分方程及其积分
θ max
=
θA
=
Fl 2 16EI
wmax
=
wl
2
=
Fl 3 48EI
Mechanics of Materials
§3 奇异函数法求梁的挠度和转角
一、奇异函数
对n≥0（n为正整数）的情况，函数
f
(x)
=<
x
−
a
>n
=
⎧
⎩⎨(x
0
− a)n
(x < a) (x ≥ a)
——称为奇异函数
奇异函数的微分 奇异函数的积分
2
2
转角方程 EIw′ = 1 ql 2 x − 1 qlx 2 + 1 qx3 + C
2
2
6
挠度方程 EIw = 1 ql 2 x2− 1 qlx 3+ 1 qx4 + Cx + D
4
6
24
Mechanics of Materials q
l
wmaxx
y
θmax
EIw′ = 1 ql 2 x − 1 qlx2 + 1 qx3 + C
x2
+
F(x −
2
a)2
+
C2
挠度 方程
EIw1
=
−
Fb 6l
x3
+
C1
x
+
D1
EIw2
=
−
Fb 6l
x3
+
F(x −
6
a)3
+
C2 x
+
D2
EIw1′
=
−
Fb 2l
x2
+
C1
EIw1
=
−
Fb 6l
x3
+
C1
x
+
D1
Mechanics of Materials
EIw′2
=
−
Fb 2l
x2
+
F(x −
2
a)2
+
C2
EIw2=
−
Fb 6l
x3
+
F(x −
6
a)3
+
C2 x
+
D2
3、利用边界条件和光滑 A 连续条件确定积分常数
a Fb
lC
Bx
FA y
FB
x=0 x=a x=a
w1 = 0 θ1 = θ2 w1 = w2
D1 = 0 C1 = C2 D1 = D2
( ) C2
=
Fb
l2 − 6l
b2
x = l w2 = 0
− Fb l 2 + F(l − a)3
6
6
+ C2l = 0
Mechanics of Materials
( ) EIw1′
=
−
Fb 2l
x2
+
Fb
l2 − 6l
b2
( ) EIw′2
=
−
Fb 2l
x2
+
F(x −
2
a)2
+
Fb
l2 − 6l
b2
( ) ( ) EIw1
=
−
Fb 6l
x3
+
Fb
l2 − 6l
M (x) = Fb x − F (x − a)
l
(a ≤ x ≤ l )
A FA y
Mechanics of Materials
a Fb
lC
Bx
FB
AC段
CB段
弯矩 方程
M1
(x)
=
Fb l
x
M2(x)
=
Fb l
x
−
F(x
−
a)
转角 方程
EIw1′
=
−
Fb 2l
x2
+
C1
EIw′2
=
−
Fb 2l
2
F lC
l2 − b2 3
b
Bx
FB
5、讨论
①当 b → 0,