max
B
Pl 2 2EI
Pl 3 wmax wB 3EI
P
θBB x
例4: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集 中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax 和 wmax。
A
y l 2
P
C l 2
B
x
解：AC段：M(x) P x
2
EIw P x 2
x
A
EIw P x2 C 4
w=0
w=0
w=0
=0
自由端：无位移约束条件。
➢位移连续条件和光滑条件
F
M
挠曲线在B、C点连续且光滑 A
B
C
D
连续：wB左= wB右
光滑：B左 = B右
F
弯曲变形的对称点上 C=0
A
C
B
例1：写出梁的挠曲线方程的约束条件和连续条件
F
A
B
C
D
E
思考： 该梁可分几段积分？各段边界点有多少 位移约束与连续条件？ 分4段
F
w
x
挠曲线
挠曲线方程
y
EIw x M (x) dx C
w f (x)
转角方程
tan w f (x)
EIw x M (x) dxdx Cx D
式中积分常数C、D由边界条件确定
位移约束条件 位移连续条件
EIwx M xdx Cx D
• 位移约束条件与连续条件
➢位移约束条件
P
C l
2
2
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
Pl 2 16 EI
wm a x
w
x l 2
Pl3 48EI
B
x
练习: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的 转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
q
A
C
D
E
B
x
y
a
a
a
a
解：由对称性，只考虑半跨梁ACD
M1(x1) qax1
M2 (x2
22
2
l
EIw ql x2 q x3 C y
B
x
ql
2
46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
由边界条件：x 0, w 0 x l, w 0
D0 C ql3
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
w' q (l3－6lx2＋4x3)
24EI
A
w qx (l3 2lx2 x3)
y l
2
EIw P x3 Cx D 12
P
C l 2
B
x
由边界条件：x 0时，w 0 由对称条件：x l 时，w 0
2
得： D 0
得：
Pl 2 C
16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P (l 2 4x2 )
x
16EI
A
w Px (3l 2 4x2 ) y
48EI
l
第五章 梁弯曲时的位移
主要内容 1、积分法求梁的变形 2、叠加法求梁的变形 3、梁的刚度设计 4、梁内的弯曲应变能
§5-1 梁的位移
工程实践中的弯曲变形问题 要求变形不能过大
摇臂钻床的摇臂，就会影响零件的加工精度， 甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使 小车行走困难，出现爬坡现象。
但有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满 足特定的工作需要。
)
qax2
q 2
(x2
a)2
EIw1 qax1
(0 x1 a) (a x2 2a)
q EIw2
qax2
q 2
( x2
a)2
A
y
qa
x1
C
D
EBxqa Nhomakorabeax2
a
a
a
a
EIw1 qax1
EIw1
qa 2
x12
C1
EIw1
qa 6
x13
C1x1
D1
EIw2
qax2
q 2
( x2
a)2
EIw2
qa 2
x
l
EIw Px Pl
A
EIw
P 2
x2
Pl x
C
y
EIw P x3 Pl x2 Cx D 62
由边界条件：x 0时，w 0,w 0
得： C D 0
P
Bx
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (2l x)
2EI
x
l
A
w Px2 (3l x)
6EI
y
最大转角和最大挠度分别为：
32
w( x ) 1 [w(x)]2
32
--二阶非线性常微分方程
Q 挠曲线微分方程
w( x)
Mx
1 [w( x)]2 3 2 EI
Q方程简化
•小变形时：w2 1
w( x) = M( x) EI
•正负号确定: 当y轴正方向向下时：
挠曲线向上凸时(即开口向下时)
M<0 w 0
挠曲线向下凸时(即开口向上时)
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变 形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
• 梁变形的描述：
挠曲线——变形后的轴线(弹性曲线) 。
挠度w —— 横截面形心处的铅垂位移。
转角 —— 横截面绕中性轴转过的角度。
F
Ow
l2 l2
x
挠曲线
y
§5-2 挠曲线近似微分方程及其积分
1.挠曲线方程
F
O w
位移约束条件：A：2个；C: 1个；D: 无 位移连续条件：B：1个；C: 2个；E: 2个；
例2: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和wmax。
ql
x
y
解：M(x) ql x q x2
q
22 A
EIw ql x q x2 ql x
x22
q 6
(x2
a)3
C2
EIw2
qa 6
x23
q 24
(x2
a)4
C2 x2
D2
q
A
y
qa
x1
C
D
E
B
x
qa
x2
a
a
a
a
由连续条件：x1 x2
a时,w1
w2 ,w1 w2
得CD11
C2 D2
由约束条件：x1 0时,w1 0 得D1 0
由对称条件：
x2
2a时,w2
0
得C2
11 qa3 6
x
挠曲线
y
挠曲线方程：w f ( x)
转角方程： tan w f ( x)
w以向下为正，向上为负
θ以顺时针为正，逆时针为负
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯曲）
1 M ( x) （推广到横力弯曲） ( x) EI
Q 由高等数学知识
1
(x)
y '' 1 y '2
q
x θA
θB
B
x
24EI
l
y
最大挠度和最大转角分别为：
wm a x
w x l 2
5ql 4 384 EI
max
A
B
ql3 24 EI
练习：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集 中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax 和wmax。
l A
P
Bx
y
解：M(x) P(l x)
M>0 w 0
方程恒取负号
EIw(x) = M(x) ——挠曲线的近似微分方程
w( x) = M( x) EI
x
M0 M w 0 M
y
x
M0 M w 0 M
Q应用条件：
y
max p 小变形的等直梁
y轴正方向向下时，挠度 w 向下为正，弯矩以向下凸为正
2. 积分法求弯曲变形 O
EIw x M(x)