判断题
1、如果向量组1,
线
性
组
合
等
于
零向
量
，
那么该向量组线性相关
2、如果向量组1,2 ,
,
线
n
性
相
关,那
么
其
中
每
个
向 量 都 是 其 余 向 量 的 线性 组 合
3、 假 定能 用1,2 ,
,
表
n
示
为
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k11 k22 knn , ki为 任 意 常 数
i 1,2, , n，1,2 , ,n ,线性相关
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2 an xn b
§3.2 n 维向量的线性运算
向量的线性运算就是矩阵的线性运算.
设 [a1 , a2 , , an ]T [b1 , b2 , , bn ]T
三、线性组合与线性相关性的关系
定理3.1 向量组1,2 , ,s (s 2)线性相关
其中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 向量组线性无关
其中任何一个向量都不能由其余向量线性表示.
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定理3.2
设向量组1,2 ,
,
线性无关，
s
,1 ,2 ,
,
线性相关
s
则可由1,2 , ,s线性表示且表示法唯一.
(8)1 .
退出
§3.3 向量组的线性相关性
一、 线性组合
定义1
给定向量组A :1,2 ,
,
，
m
对于任何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，.
上一页 下一页
(linear combination).
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定义2 若向量 k11 k22 knn
a1n a2n a11 a21 线性无关 a12 a22
ann an1 an2 0
a1n a2n ann 由此可知n维基本向量是线性无关的.( I 1)
例
试证：若向量组1,2 ,
,
线性无关，
s
则它的任一部分组也线性无关.
（反证法）
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部分与全体（向量个数变化）: 全体无关 部分无关 部分相关 全体相关
向量的线性运算满足以下运算性质：
设 , , Rn , k, l R,则 有
(1) ;
(2) ( ) ( ) ;
(3) 0 ; (4) Rn, Rn,使 () 0;
(5)k( ) k k;
(6)(k l) k l;
上一页
下一页 (7)(kl) k(l );
即：若1,2 ,
则1 2 ,2
,n线性无关,
3, ,n 1
线 线
性相关 性无关
n偶, n奇.
课堂练习
设 向 量可 由1 ,2 , ,m线 性 表 示 ，
但 不 能 由 向 量 组(1)1 ,2 ,
,
线
m1
性
表
示
，
记 向 量 组(2)1 ,2 , ,m1 , ,则 B
(
A)
不
m
能
由
（1）
线
性
一、n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数a1, a2 , , an 所组成的数 组 称 为n维 向 量 ， 第i个 数ai 称 为 第i个 分 量.
注: 如无特殊说明,向量均指列向量.
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例如
(1,2,3, , n)T
n维实向量
(1 2i,2 3i, , n (n 1)i)T
2. 线性相关
① 定义
② 至少有一个向量可由其余向量线性表示.
3. 线性无关
① 定义
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②
任一向量都不能由其余向量线性表示.
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二、相关与无关的联系
若1,2 ,
,s线性无关， ,1,2 ,
,
线性相关
s
则可由1,2 , ,s线性表示且表示法唯一.
全体无关，则部分无关；部分相关，则全体相关
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因
为1
,
2
,
3
,
线
4
性
无
关
，
故
有
x1
x4 0
x1
x2 x2
x3
0 0
x3 x4 0
1001
由于 1
1
0
0 0
0110
0011
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故 有 非 零 解,即x1 , x2 , x3 , x4不 全 为 零.
所以1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1线性相关.
n维复向量
第2个分量
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第1个分量
第n个分量
注1：Rn {( x1, x2, , xn )T | xi R,i 1,2, ,n}
叫做 n维向量空间．
注2：n阶 单 位 矩 阵 的 列 向 量 组
e1 (1,0, ,0)T , e2 (0,1, ,0)T , , en (0,0, ,1)T . 称为 n 维基本向量.
的线性相关性.
解 设 x11 x22 x33 0
用行列式来解 11 1
A 1 3 1 0 1 5 3
上一页 方程组有非零解, 所以1，2，3线性相关.
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推广：n个n维向量i (ai1, ai2, , ain )T ,
a11 a21 an1
线性相关 a12 a22 an2 0
第三章 向量空间
重点:
(vector space)
向量组的相关性、极大无关组
难点:
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相关性概念、向量空间
§3.1 n 维向量的定义
一、n 维向量的概念
以前我们接触过一维向量、二维向量、三
维向量，现在很自然地推广到 n 维向量.
o
上一页
x
下一页
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y
(x, y)
o
x
§3.1 n 维向量的定义
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4、若有一组不全为零的数k1, k2 kn使
k11
k2 2
kn n
0,则1,2 ,
,
线
n
性
无
关
5、如果零向量只能用唯一的方式表示成1,2 , ,
的
n
一
个
线
性
组
合
，
那
么1
,
2
,
,
线
n
性
无
关
6、包含零向量的向量组一定是线性相关的.
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小结
一、基本概念
1. 线性组合、线性表示.
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注3：向量与矩阵
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矩
阵A
(a
ij
) mn
有n个m维
列
向
量
a1 a2
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
注4：向量与线性方程组
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a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
退出
此定义也可表述为：
若齐次线性方程组 x11 x22 xnn 0
有非零解，则 称 向 量 组1 ,2 ,
,
线
n
性
相
关.
否则就称向 量 组1 ,2 ,
,
线
n
性
无
关.
显然包含零向量的向量组一定是线性相关的.
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例 讨论向量组1 (1,1,1)T ,2 (1,3,5)T ,3 (1,1,3)T
例
设
向
量
组1
,
2
,
3
,
线
4
性
无
关
，
试
证
向
量
组
1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1线 性 相 关.
证: 设
x1(1 2 ) x2 (2 3 ) x3(3 4 ) x4 (4 1 ) 0
整理得
( x1 x4 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 ( x3 x4 )4 0
伸长与缩短组（维数变化）: 无关 伸长组无关；相关 缩短组相关
如： (1,0,0,1,2,3), (0,1,0,3,4,5),
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(0,0,1,5,6,7) 线性无关.
退出
上一页 下一页 退出
个数与维数：个数大于维数 线性相关
特别，n+1 个 n 维向量必线性相关。
伸长与缩短组（维数变化）: 无关 延长组无关 相关 缩短组相关
部分与全体（个数变化）: 全体无关 部分无关 部分相关 全体相关
则称是向量组1,2 ,
,
的线性组合，或
n
称
可由1,2 , ,n线性表示.
例：任何一个n维向量 (a1, a2 , , an )T 可
由n维 基 本 向 量 线 性 表 示.
注：可由1,2 ,
,
线性表示
n
上一页 线性方程组x11 x22 xnn 有解
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二、向量组的线性相关性
定义设 向 量 组1,2 , ,n ,
表
示
，
也
不
能
由（2）
表
示