向量组线性相关性的性质
性质1、
1,2 , ,n
k11 k22
knn
仅有零解k1 = k2 = … = kn =0 ．
1,2 , ,n
, , , , , , 维向量组 1 2 n
，则向量组
1,,2,, ,n, 线性无关
低维线性无关 高维线性无关
所以向量组 1,
l ,l 1
,n 也线性相关
部分相关 整体相关， 整体无关 部分无关
例4 、
分析：
性质3、已知向量组 1,2 , 的线性组合，不妨假设
,n ，若其中至少有一个向量能表示成其余向量 kn 0n knn 0 有非零解
1 k202
则其次线性方程组
k2 2
kn n 即
仅有零解
1 0 0 1 k1 k2 0 0
0 0 0 0 kn 1 0
n维基本单位向量组线性无关
例 3：
性质2、考虑向量组1,
l ,l 1
,n(1 l n ) ，如果部分组 1, l
线性相关，则齐次线性方程组
k11 k22
kll 有非零解
因而，齐次线性方程组 也有非零解
k11
kll kl 1l 1
knn
n 的秩小于向量的个数 n ．
向量组线性无关性的判定定理 m维向量组 A： , , 1 2 如果 k11 k22
,n 线性无关
knn （零向量），则必有
k1 = k2 = … = kn =0 ． n 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = 1 2 即：r(A)=n
k11 k22
向量组 1,2 , ,n 线性相关
反之，若向量组 1,2 ,
，如果存
11 2 2 nn
则称向量 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 能由向量
组A 线性表示．
P.110 定理4.1 的结论： 向量 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = 有解
r ( A) r ( A, )
由于零向量可由向量组A线性表示：0 01 02 n元齐次线性方程组 Ax =0 有非零解
r ( A) nຫໍສະໝຸດ 0nn元齐次线性方程组 Ax =0 只有零解
r ( A) n
向量组的线性相关性
1,2 , 定义：给定向量组 A：
,n ，如果存在不全为零的
实数 k1, k2, …, kn ，使得 k11 k22 knn （零向量）
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的． 线性无关：当且仅当k1 = k2 = … = kn =0 时，才有
n 的秩等于向量的个数 n ．
推论
1,2 , 已知m维向量组 A：
,n ,矩阵 A 1 , 2 ,
, n
(1)若向量的维数少于向量的个数，即m<n，则 向量组A线性相关 特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关． (2)若向量的维数等于向量的个数，即m=n，则
A 0 A 0
§2 向量组的线性相关性
回 顾
1， 2， ， n 对于任何一组实数 线性组合： 给定向量组 A： k1 , k2 ,, kn 表达式
k11 k2 2 kn n
称为向量组 A 的一个线性组合．
1， 2， ， n和向量 线性表示：给定向量组 A：
在一组实数 1, 2, …, n ，使得
单个非零向量线性无关
k1 ,k2 使得
(1)若
1,2
线性相关，则存在不全为零的数
k11 k22
k2 1 2 不妨令 k1 0 ，可得： k1
对应分量成比例的两个向量线性相关
(2)若 1 ,2 对应分量不成比例，则齐次线性方程组
k11 k22
r(A ) 3 n
向量组 1,2 ,3 线性无关
一些特殊向量组的线性相关性
1、单个向量的向量组 (1)若
其次线性方程组 k 有非零解k=1
(2)若
其次线性方程组 k
单个零向量线性相关
仅有零解k=0
2、两个向量的向量组 1 ,2
k11 k22
knn
向量组线性相关性的判定定理
1,2 , m维向量组 A：
,n 线性相关
存在不全为零的实数 k1, k2, …, kn ，使得
k11 k22
knn （零向量）
n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． 矩阵A = 1 2 即：r(A)<n
kll
knn 有非零解
含有零向量的向量组线性相关
4、n维基本单位向量组 1, 2
n
0 0 n 1
1 0 1 0
0 1 2 0
由于齐次线性方程组 k11
n维向量组A线性相关 n维向量组A线性无关
例1、已知向量组
r2 -3r1
r4 -5r1
1 r2 5 1 1 r3 , r4 3 6
r3 -r2
r4 -r2
r(A ) 2 n 3
向量组 1,2 ,3 线性相关
例2、已知向量组
r2 -3r1
r4 -r1
r4 +2r2
r2 -3r3
k2 1 2 (成比例，矛盾) 不可能有非零解，否则，假设 k1 0 可得： k1
对应分量不成比例的两个向量线性无关
1,
,l ,
3、含有零向量的向量组 已知向量组A:
,n ，若向量 l
齐次线性方程组 k11
k1 0 kl 1 k n 0