?方程有不为0的根，? ? ? (1? y)2 ? 4 ? 0
即 ( y ? 1)2 ? 4,? y ? 1 ? ?2或 y ? 1 ? 2
得?y | y ? ?1或 y ? 3?
【解题回顾】第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域，
求原函数的值域.也可将原函数式化为 y ? 0 ，可利用指
y
1? y
数函数的性质 3x＞0 得
? 0.
1? y
第(2)题采用了“部分分式法”求解,即将原分式分解成两项，其
中
y ? cx ? d
一项为常数，另一项容易求出值域．形如
ax ? b
(asi≠n0x，?c≠20?)的2函y 数均可使用这种方法.本2题? 2也y可?化1为
1 ? y 利用|sinx|≤1，得 1 ? y ，求函数的值
2
?
定义域为??? ?
?
，21；???
?函数y ? x和y ? ?
1?
2x均在?? ?
?
?
,
1 2
???上单调递增，
? y ? 1 ? 1? 2? 1 ? 1
2
22
?
函数的值域为?? y | ?
y?
1?
2
? ?
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
x
（2）? y ? 2 ? sin x ? ?1? 4
2 ? sin x
2 ? sin x
又??1 ? sin x ? 1, ? 4 ? 4 ? 4
3 2 ? sin x
?
函数的值域为?? ?
y
|
1 3
?
y?
3?? ?
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
域.
第(3)题用换元法求函数的值域，要特别注意换元后新变量 的取值范围．
第(4)题利用基本不等式求函数的值域时，必须注意公式使 用的条件，本题也可分x＞0，x＜0两类情况利用基本不等 式求函数的值域；利用判别式法求函数值域的关键是构造 自变量x的二次方程.
例2.已知函数y=√mx2-6mx+m+8的定义域为R (1)求实数m的取值范围； (2)当m变化时，若y的最小值为 f(m)，求 f(m) 的值域
(3) y ? x - 1 - 2x ;
(4) y ? x ? 1 ? 1?x ? 1?
x
（3）法一：（换元法）设 1? 2x ? t (t ? 0) 得 x ? 1? t2
? y ? 1? t 2 ? t ? ? 1 (t ? 1)2 ? 1 ? 1 (t ? 0)
2
2
2
2
?
函数的值域为?? y | ?
解解题:依分题析意：由,当yx?∈mRx时2 ?,m6mxx2-?6mm?x8+的m定+8义≥0域恒是成R立,当
可知 x? R时mx2 ? 6mx? ? m ? 8 ? 0恒成立，
m=0时,x∈从R而;当可m求≠出0
时m的,???m?取??值00范, 即围。???(m?
?0 6m)
2
?
4m(m
?
8)
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
(3) y ? x - 1 - 2x ;
(4) y ? x ? 1 ? 1?x ? 1?
（4）法二：（判别式法） x
由 y ? x ? 1 ? 1 (x ? 0), 得 x2 ? (1? y)x ? 1 ? 0 x
欲使mx2-6mx+m+8取遍一切正数,只需
?m? 0 ??? ? (?6m)2 ? 4m(m ? 8) ? 0 解得m∈[1,+∞)
延伸·拓展
例3.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为 M(a)，最小值为 m(a)，
试求M(a)及m(a)的表达式.
解解题：分f析(:x本) ?题x为2“? 顶2a点x动? ，(x区?间a)定2 ”? a的2二, x次? 函[0数,1]最, 值问题，只
须 值顶讨。点论横顶点坐的标移为动情x ?况a与区间[0，1]的位置关系，便可确定最
(1)当 a ? 0 时，M (a) ? f (1) ? 1? 2a, m(a) ? f (0) ? 0
(2)当 0 ? a ? 1 时，M (a) ? f (1) ? 1? 2a, m(a) ? ? a 2
(3)当 1
?
, 0
解之得0<m≤1, 综上0≤m≤1,
(2)当m ? 0时 y ? 2 2;
当0 ? m ? 1时 y ? m(x ? 3)2 ? 8 ? 8m; ? ymin ? 8 ? 8m;
因此，f (m) ? 8 ? 8m (0 ? m ? 1)
? ? ? f (m) 的值域为 0，2 2
例2.已知函数y=√mx2-6mx+m+8的定义域为R (1)求实数m的取值范围； (2)当m变化时，若y的最小值为 f(m)，求 f(m) 的值域
2.定义域为 R的函数 y=f(x)的值域为 [a，b]，则函数 y=f(x+a)
的值域为
( C)
(A)[2a，a+b] (B)[0，b-a] (C) [a，b] (D) [-a，a+b]
3.求下列函数的值域：
（1）y ?
ex ex
? 1 ;(2) y ?1
?
x?
4
sin x 2 ? x; (3) y ?
2 ? cos x
答案(1)(-1,1) (2)(- ∞,2]
(3)
? ?? ?
3, 3
3?
3
? ?
4.分别根据下列条件 ,求实数a 的值:
(1)函数f (x) ? ? x2 ? 2ax ? 1? a在区间[0，1]上有最大值 2； (2)函数f (x) ? ax 2 ? 2ax ? 1? a在区间[? 3，2]上有最大值 4
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(3) y ? x - 1 - 2x ;
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
(4)y ? x ? 1 ? 1?x ? 0?
x
解题分析: (1)(2)可采用方程的思想方法求出值域,即把函数
看成是关于x 的方程,利用方程有解的充要条件求出y的范围;
解（: 1）由
y
?
3x 3x ?
1
,
得
x?
x
y log3 1? y
? y ? 0, ? y? (0,1) 1? y
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
(3) y ? x - 1 - 2x ;
(4) y ? x ? 1 ? 1?x ? 1?
【解题回顾】对于 x∈R时ax2+bx+c≥0恒成立.一定要分 a=0 与a＞0两种情况来讨论.这样才能避免错误.
变式题1 已知函数 y=lg(mx2-6mx+m+8) 的值域为 R, 求实数m的取值范围 .
解:当m=0时,函数为y=lg8,值域不为R;
当m<0时,mx2-6mx+m+8不能取遍所有正数,故值域也不为R;
y?
1? 2??
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
(3) y ? x - 1 - 2x ;
(4) y ? x ? 1 ? 1?x ? 1?
（3）法二：（利用函数的单调性x ）
? 1? 2x? 0? x? 1
? ?
1?
2a
(a
?
1)
延伸·拓展
例3.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为 M(a)，最小值为 m(a)， 试求M(a)及m(a)的表达式.
【解题回顾】含有参变数字母的二次函数的最值问题，主 要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开 口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种 情形： (1)顶点(对称轴)不动，而区间变化(移动)； (2)顶点(对称轴)可移动，而区间不动； (3)顶点 (对称轴 ) 和区间都可移动．无论哪种情形都结合图 象、顶点 (对称轴 )与区间的位置关系对种种可能的情形进 行讨论.
?
2 a ? 1时，M(a) ?
f (0) ?
0, m(a) ?
?a2
2
(4)当 a ? 1时，M (a) ? f (0) ? 0, m(a) ? f (1) ? 1? 2a
综上所述：M (a)
?
??1? 2a (a ?
? ?
0(a
?
1)
?
2
1) 2 , m(a) ?
? 0 (a ? 0)
??? a 2 (0 ? a求出值域;(4)还可采用
基本不等式或利用函数的单调性求出值域.
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1