第1讲集合与常用逻辑用语考点1 集合的概念及运算集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U；(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.[例1] (1)[2019·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( ) A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}(2)[2019·全国卷Ⅰ]已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝( )A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}【解析】(1)本题主要考查集合的交运算与一元二次不等式的求解，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1,0,1}．(2)本题主要考查集合的交运算、解一元二次不等式等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．通解∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故选C.优解由题得N＝{x|－2<x<3}．∵－3∉N，∴－3∉M∩N，排除A，B；∵2.5∉M，∴2.5∉M∩N，排除D.故选C.【答案】(1)A(2)C1．解答集合问题的策略先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的策略为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解．(2)若给定的集合是点集，用图象法求解．(3)若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．2．[警示]忽略空集的讨论，若遇到A⊆B，A∩B＝A时，要考虑A为空集的可能性.『对接训练』1．[2019·四川南充适应性考试]已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k 2＋14，k∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4＋12，k ∈Z 则( )A ．P ＝QB ．P QC ．P QD ．P ∩Q ＝∅解析：在集合P 中，x ＝k 2＋14＝2k ＋14，k ∈Z ，在集合Q 中，x ＝k 4＋12＝k ＋24，k ∈Z .因为k ∈Z ，所以2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，由集合间的关系判断，得P Q .故选B.答案：B2．[2019·北京延庆一模]已知集合A ＝{x |x (x ＋1)≤0}，集合B ＝{x |－1<x <1}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤1} B．{x |－1<x ≤0} C ．{x |－1≤x <1} D ．{x |0<x <1}解析：解一元二次不等式x (x ＋1)≤0，可得A ＝{x |－1≤x ≤0}，则A ∪B ＝{x |－1≤x <1}，故选C.答案：C考点2 命题的真假与逻辑联结词1．四种命题及其关系 (1)四种命题若原命题为“若p ，则q ”，则其逆命题是若q ，则p ；否命题是若綈p ，则綈q ；逆否命题是若綈q ，则綈p .(2)四种命题间的关系2．命题p ∧q 、p ∨q 、綈p 的真假判断pqp ∧qp ∨q綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真[例2] x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________；(2)[2019·福建漳州一中月考]已知命题p ：椭圆25x 2＋9y 2＝225与双曲线x 2－3y 2＝12有相同的焦点；命题q ：函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4的最小值为52.则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．綈(p ∨q )D ．p ∧(綈q )【解析】 (1)设f (x )＝sin x ，则f (x )在0，π2上是增函数，在π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．(2)p 中椭圆x 29＋y 225＝1的焦点坐标分别为(0,4)，(0，－4)，双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标分别为(4,0)，(－4,0)，故p 为假命题；q 中f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，设t ＝x 2＋4≥2(当且仅当x ＝0时，等号成立)，则f (t )＝t ＋1t 在区间[2，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝52，故q 为真命题．所以(綈p )∧q 为真命题，故选B.【答案】 (1)f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一) (2)B1．命题真假的判定方法(1)一般命题p 的真假由涉及的相关知识辨别；(2)四种命题真假的判断：一个命题和它的逆否命题同真假，而其他两个命题的真假无此规律；(3)形如p ∧q ，p ∨q ，綈p 命题的真假根据p ，q 的真假与联结词的含义判定．2．全称命题与特称命题真假的判定(1)全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；(2)特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.『对接训练』3．[2019·山西芮城期末]在一次数学测试中，成绩在区间[125,150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p 是“甲测试成绩优秀”，q 是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：“甲测试成绩不优秀”可表示为綈p ，“乙测试成绩不优秀”可表示为綈q ，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为(綈p )∨(綈q )．故选A.答案：A4．[2019·江西临川一中月考]已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－2ax ＋1>0；命题q ：∃x 0∈R ，ax 20＋2≤0.若p ∨q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C ．(－∞，－2] D ．[－1,1]解析：∵p ∨q 为假命题，∴p ，q 均为假命题．若命题p 为假命题，则Δ≥0，即4a 2－4≥0，解得a ≤－1或a ≥1；若命题q 为假命题，则a ≥0，∴实数a 的取值范围是[1，＋∞)，故选A.答案：A考点3 充分、必要条件充分条件与必要条件的3种判定方法A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)[2019·浙江卷]设a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)本题主要考查充分性与必要性的判断、简单的不等式求解，考查考生的运算求解的能力，考查的核心素养是逻辑推理．由x 2－5x <0可得0<x <5.由|x －1|<1可得0<x <2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x 2－5x <0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．(2)本题主要考查充分条件、必要条件，考查考生分析问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理．通解 因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝13，满足ab ≤4，但a ＋b >4，所以必要性不成立．所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.优解 在同一坐标系内作出函数b ＝4－a ，b ＝4a的图象，如图，则不等式a ＋b ≤4与ab ≤4表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4a及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a ＋b ≤4成立时，ab ≤4成立，而当ab ≤4成立时，a ＋b ≤4不一定成立．故选A.【答案】(1)B (2)A判断充分、必要条件时的3个关注点要弄清先后顺序“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A 是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.要善于举出反例当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．要注意转化綈p是綈q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；綈p是綈q的充要条件⇔p是q的充要条件.『对接训练』5．[2019·甘肃天水一模]设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( ) A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件解析：取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|不一定能推出|a＋b|＝|a－b|.由|a ＋b |＝|a －b |，得|a ＋b |2＝|a －b |2， 整理得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，此时不一定能得出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D. 答案：D6．[2019·天津一中月考]已知命题p ：x ≥k ，命题q ：3x ＋1<1.如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，1] 解析：由3x ＋1<1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0，即(x －2)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >2，由p 是q 的充分不必要条件知，k >2，故选B.答案：B课时作业1 集合与常用逻辑用语1．[2019·全国卷Ⅱ]设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1<0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1) B ．(－2,1) C ．(－3，－1) D ．(3，＋∞)解析：本题考查不等式的求解、集合的交运算，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．因为A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}＝{x |x >3或x <2}，B ＝{x |x －1<0}＝{x |x <1}，所以A ∩B ＝{x |x <1}，故选A.答案：A2．[2019·宁夏中卫一模]命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D.答案：D3．[2019·四川内江、眉山等六市诊断性考试]已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况，所以选A.答案：A4．[2019·广东广州一测]已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则( )A．A∩B＝∅ B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>0}，故A⊆B，故选D.答案：D5．[2019·吉林长春模拟]设命题p：∀x∈(0，＋∞)，ln x≤x－1，则綈p是( ) A．∀x∈(0，＋∞)，ln x>x－1B．∀x∈(－∞，0 ]，ln x>x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0>x0－1D．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≤x0－1解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈(0，＋∞)，ln x≤x－1的否定綈p：∃x0∈(0，＋∞)，ln x0>x0－1.故选C.答案：C6．[2019·陕西西安铁一中月考]如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：解法一(集合法)设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A 的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．解法二(等价转化法)x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/ x＝y.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．答案：C7．[2019·安徽芜湖四校联考]已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x2≥4}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{0}C ．{－1,0}D ．{－1,0,1}解析：由韦恩图可知阴影部分对应的集合为A ∩(∁U B )，∵B ＝{x |x 2≥4}＝{x |x ≥2或x ≤－2}，A ＝{－2，－1,0,1,2}，∴∁U B ＝{x |－2<x <2}，A ∩(∁U B )＝{－1,0,1}，故选D.答案：D8．[2019·西藏拉萨中学月考]下列命题中是真命题的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ≠1” B ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题C ．命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1，则綈p ：∀x ∈R ，sin x ≤1D ．“φ＝2k π＋π2(k ∈Z )”是“函数y ＝sin (2x ＋φ)为偶函数”的充要条件解析：对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1”，A 错误．对于B ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，B 错误．对于C ，命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1，则綈p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，C 正确．对于D ，φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数，充分性成立．函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数时，φ＝π2＋k π(k ∈Z )，必要性不成立，不是充要条件，D 错误．故选C. 答案：C9．[2019·北京卷]设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查函数的奇偶性，充分、必要条件的判断，以及三角函数的性质；考查学生的运算求解能力和推理论证能力；考查的核心素养是逻辑推理．当b ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x )，∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立，∴b ＝0. 故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件. 故选C.答案：C10．[2019·安徽六安月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C ．(－∞，3) D ．(－∞，3]解析：依题意可知当a <3时，A ∩B ≠∅，故选C.答案：C11．[2019·贵州贵阳模拟]已知命题p ：∀x ∈R,2x<3x，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：因为綈p ：∃x ∈R,2x≥3x，要使(綈p )∧q 为真命题，所以綈p 与q 同时为真命题．由2x ≥3x 得⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ≥1，所以x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，所以x ＝1或x ＝－2.又x ≤0，所以x ＝－2.故选D.答案：D12．[2019·海南海口模拟]已知集合A ＝{x ∈R ⎪⎪⎪12<2x<8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2 B．m ≤2 C ．m >2 D ．－2<m <2解析：集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12<2x<8＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.答案：C13．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a 2 020＋b 2 020的值为________．解析：因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a＝0，a 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，则a2 020＋b2 020＝1.答案：114．[2019·安徽定远重点中学月考]若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知命题“∀x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3≥0 ”为真命题，所以Δ＝m 2－4(2m －3)≤0，解得2≤m ≤6，则实数m 的取值范围是[2,6]．- 11 - 答案：[2,6]15．[2019·江苏扬州期中]已知条件p ：x >a ，条件q ：1－x x ＋2>0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由1－x x ＋2>0，得{x |－2<x <1}．因为p 是q 的必要不充分条件，所以a ≤－2. 答案：(－∞，－2]16．[2019·陕西西安模拟]已知下列命题：①∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2； ②∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1；③∀x ∈R,2x ＋12x >2； ④∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x 0>sin x 0. 其中真命题为________(填所有真命题的序号)．解析：对于①，当x ＝π4时，sin x ＋cos x ＝2，所以此命题为真命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，所以此命题为真命题；对于③，因为2x >0，所以12x ＋2x ≥212x ×2x ＝2，当且仅当12x ＝2x ，即x ＝0时等号成立，所以此命题为假命题；对于④，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0<sin x ，所以此命题为假命题．综上，真命题为①②. 答案：①②。