2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第十一章《概率统计》一、选择题（共11题）1．（安徽卷）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为A ．17 B ．27 C ．37 D ．47解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得38C 个三角形，要得直角非等腰．．三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得3824C ，故C 。
2．（福建卷）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 A.72 B.83 C.73 D.289 解析：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。
从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于21335338C C C P C +==27，选A 。
3．（湖北卷）甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分但不必要条件B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。
故选 B4．（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出y x -，设x=10+t, y=10-t, 24x y t -==，选D5．（江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器。
接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（A ）454 （B ）361 （C ）154 （D ）158 【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题. 【正确解答】将六个接线点随机地平均分成三组，共有2226423315C C C A =种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有1114218C C C =种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是158，选D 【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已6．（江西卷）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为（ ）A ． a=105 p=521 B.a=105 p=421 C.a=210 p=521 D.a=210 p=421解：选A ，a ＝322742C C C 2！＝105，甲、乙分在同一组的方法种数有 （1） 若甲、乙分在3人组，有122542C C C 2！＝15种 （2） 若甲、乙分在2人组，有35C ＝10种，故共有25种，所以P ＝25510521＝ 7．（江西卷）袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 Ａ．12344812161040C C C C C Ｂ．21344812161040C C C C C Ｃ．23144812161040C C C C C Ｄ．13424812161040C C C C C 解：依题意，各层次数量之比为4:3:2:1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，故选A8．（四川卷）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（A ）1954 （B ）3554 （C ）3854 （D ）4160解析：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除。
所有的三位数有32109648A A -=个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有33212A =个；② 若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③ 若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个，这样能被3 整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为420648=3554，选B 。
9．（四川卷）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（A ）30人，30人，30人 （B ）30人，45人，15人（C ）20人，30人，10人 （D ）30人，50人，10人解析：甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生30人，45人，15人，选B.10．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是(A)20 (B)30 (C)40 （D ）50解析：根据该图可知，组距为2，得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C.11．(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。
为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。
若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13解：各层次之比为：30:75:195＝2:5:13，所抽取的中型商店数是5，故选C二、填空题（共9题）12．（福建卷）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。
将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，则11111133333311663(0)4C C C C C C P C C ξ++===，112211661(1)9C C P C C ξ===，1111211211661(2)9C C C C P C C ξ+===， 111111661(4)36C C P C C ξ===，∴ 124499369E ξ=++=.0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距13．（湖北卷）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。
（精确到0．01）解：P ＝332445550.800.200.800.200.80C C ⨯⨯⨯⨯（）（）＋（）＋（）＝0.94 14．（湖南卷）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.解析：某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是409050818590⨯+⨯=分. 15．（全国II ）一个社会调查机构就某地居民 的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居 民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人． 解析:由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有100000.00055002500⨯⨯=人按分层抽样应抽出10025002510000⨯=人 16．（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 解：抽取教师为160-150=10人，所以学校教师人数为2400×16010=150 人。
17．(上海卷)两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有124C P 种方法；2) 剩下的一套全排列，有4P 种方法；所以，所求概率为：124481C P P =； 18．(上海卷)在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。
解：在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是28212C P C ==3314. 19．（四川卷）设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4。
()P k ak b ξ==+（k =1，2，3，4）。
又ξ的数学期望3E ξ=，则a b += ;解：设离散性随机变量ξ可能取的值为()()1,2,3,4,1,2,3,4P k ak b k ξ==+=，所以()(2)(3)(4)1a b a b a b a b +++++++=，即1041a b +=，又ξ的数学期望3E ξ=，则()2(2)3(3)4(4)3a b a b a b a b +++++++=，即30103a b +=，1,010a b ==,∴ a b +=110. 20．（上海春）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则 （结论用数学式子表示）.解：如果在有限数列 中，按顺序去掉一些高分 ，那么有不等关系； 如果在有限数列中，按顺序去掉一些低分 ，那么有不等关系．从而应填，与 ．三、解答题（共27题）21．（安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。