双曲线及其标准方程教案
段文良
学生姓名：年级：辅导科目：教师：
授课时间
2014年月日
课题
掌握双曲线的标准方程及几何性质
教学目标
掌握双曲线的定义及其标准方程，明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导双曲线的标准方程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系，熟悉求曲线方程的一般方法。培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法
重点、难点
深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。
课前分析
回忆双曲线的定义，求双曲线标准方程及推导双曲线的标准方程
一、教学提纲
一、基本知识概要：
1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点 距离的差的绝对值等于 的点的轨迹，即点集 。（ 为两射线；2 无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上-下为下支等。
求双曲线标准方程常用的方法是定义法;待定系数法或轨迹方程法。
(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。
利用共渐近线的双曲线系 或 方程解题，常使解法简捷。
(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支）上时，为 当点P在左支（或下支）上时，为 利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，
第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离的比是常数 的动点的轨迹。即点集 = ，一个比产生整条双曲线。
2.双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
图形
性
质
焦点
F1（- ，F2（
F1（ ，F2（
焦距
| F1F2|=2c 一个Rt
范围
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（-a，0）。（a，0）
（0，-a）（0，a）
（1）求
（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标
解：（1） 故F双曲线的焦点，设准线为 ，离心率为 ，
由题设有 （1）
分别过A、B、C作x轴的垂线 ，则由双曲线的第二定义有 ，代入（1）式，得 ，于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有
（2）AC的中垂线方程为 （2）由于A、C在双曲线源自，所以有所以双曲线方程为 。
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。
例2：在双曲线 上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
【解】：设P点的坐标为 ， 分别为双曲线的左，右焦点。
∵双曲线的准线方程为 。 ∴ ∵ ∴P在双曲线的右支上。 ∴ ∴ 。把 代入方程 得 。 所以，P点的坐标为（ ， ）
2.利用点在曲线上列方程求参数值，利用曲线的范围列不等式解参数范围，在圆锥曲线解题过程中应重视这方面的应用。
【解】：设在左半支上存在点P，使 ，由双曲线的第二定义知 ，即 ①
再由双曲线的第一定义，得 ②
由①②，解得：
由在Δ 中有 ， ③
利用 ，从③式得 解得
，与已知 矛盾。 ∴符合条件的点P不存在。
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。
例5．如图，在双曲线 的上支有三点 ，它们与点F（0，5）的距离成等差数列。
【解】：设双曲线方程为 为双曲线上任一点，BN，PM是ΔAPB的两条高，则BN方程为 ① PM方程为 ②
又 ③ 得 ，又H在双曲线上，∴ ④
∴ ，所以双曲线方程为
【思维点拨】设方程，消参数。
例7：（备用）双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 ，它的两个焦点分别为F1，F2，直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ，且 ， 与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段P F2与双曲线的交点为Q，且 : = : ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。
将（1）代入（2），并解得 ，
解得0＜ ，即m的取值范围为 。
【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。
例4：已知双曲线 的离心率 ，左，右焦点分别的为 ，左准线为 ，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得 是P到 的距离 与 的等比中项。
【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了.
例3．（2002年全国，19）设点P到点M（－1，0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。
解：设点P的坐标为（x,y），依题意得 。 （1）
因此，点P（x.y）,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得
，
因此，点P在以M，N为焦点，实轴长为2 的双曲线上，故 （2）
3.离心率问题：
4.焦点三角形问题：
5.思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。
二、例题：
例1：根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线 有共同渐近线，且过点 ；
(2)与双曲线 有公共焦点，且过点 。
【解】：（1）设所求双曲线方程为 ，将点 代入得 ，
所以双曲线方程为 。
（2）设双曲线方程为 ，将点 代入得 ，
【解】：以F1F2的中心为原点，F1，F2所在的直线为 轴建立坐标系，
则所求双曲线方程为 ，设 ，
不妨设 的方程为 ，它与 轴交点
由定比分点坐标公式Q点的坐标为 即
由点Q在双曲线上可得 ① 又 ② ③
解得 ，所以双曲线方程为
三、课堂小结：
1.渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐进线方程为 的双曲线方程可设为 。
轴
实轴长2a，虚轴长2b
准线
渐近线
共渐近线的双曲线系方程 或
焦半径
P在右支上，
P在左支上，
P在上支上，
P在下支上，
平面几何性质
， 大开口大
离心率
焦准距 准线间距= 焦渐距= 。
说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。
(2)双曲线方程中的 与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。
相减得
故（2）式化为 ，易知此直线过定点 。
【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。
例6：（备用） 已知双曲线的焦点在 轴上，且过点 和 ，P是双曲线上异于A、B的任一点，如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。