不等式及线性规划问题（讲义）知识点睛一、 不等式的基本性质 性质1：a b b a >⇔< 性质2：a b b c a c >>⇒>， 性质3：a b a c b c >⇒+>+性质4：a b >，0c >ac bc ⇒>；a b >，0c <ac bc ⇒< 性质5：a b c d a c b d >>⇒+>+， 性质6：00a b c d ac bd >>>>⇒>，性质7：0(2)n n a b a b n n >>⇒>∈≥，N 性质8：0(2)a b n n >>⇒>∈≥，N 二、 一元二次不等式及其解法一般地，对于解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，通常步骤如下： （1）解方程20(0)ax bx c a ++=≠常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法. （2）解不等式 考虑两种解法：函数法：借助函数图象求解①画出对应函数2y ax bx c =++的图象； ②依据图象得出不等式的解集．代数法：借助实数乘法法则，解不等式组. 三、 绝对值不等式的解法1. 解绝对值不等式的核心：去绝对值去绝对值方法：以||x a -为例 （1）绝对值的几何意义：①||x a -表示数轴上x a -，0对应两点之间的距离②||x a -表示数轴上 x a ，对应两点之间的距离 （2）绝对值法则： ||0x a x a x a x a x a x a ->⎧⎪-==⎨⎪-+<⎩，，，（3）偶次方：221||() ( )n n x a x a n n -=-∈≥，N2. 解绝对值不等式常见题型（1）单个绝对值型不等式：如||ax b c +≤或||ax b c +≥ 思路一：依据绝对值的几何意义①||ax b c +≤转化为c ax b c -+≤≤ ②||ax b c +≥转化为c c ax b ax b ++-≥或≤思路二：依据绝对值的“零点”，由绝对值法则去绝对值，再解不等式 思路三：由相应函数()||f x ax b c =+-，利用数形结合思想，依据图象处理． （2）多个绝对值型不等式：如||||x a x b c -+-≥ 思路一：依据绝对值的几何意义数轴上到a 、b 对应两点的距离之和不小于c 的点的集合； 思路二：依据绝对值的“零点”依据绝对值的“零点”分段，由绝对值法则去绝对值，再解不等式； 思路三：依据函数图象由相应函数()||||f x x a x b c =-+--，利用数形结合思想，依据图象处理． （3）常见函数图象 ①()|1|f x x =-②()|1|f x x =+结论推广：①||||||x a x b a b -+--≥；②||||||||a b x a x b a b ------≤≤．四、 二元一次不等式（组）及线性规划 1. 二元一次不等式与平面区域若方程0Ax By C ++=表示直线l ，则 不等式0Ax By C ++>表示直线l 某一侧所有点组成的平面区域，将该侧任一点坐标00()x y ，代入Ax By C ++，000Ax By C ++> 恒成立．同理，不等式0Ax By C ++<表示直线l 的另一侧． 2. 由二元一次不等式组判断平面区域（1）直线定界（注意虚线与实线）；（2）特殊点定域（如：原点，(0 1)，，(1 0)，等）； （3）不等式组找公共区域. 3. 线性规划相关概念 约束条件： 关于x ，y 的不等式（或方程） 线性约束条件：关于x ，y 的一次不等式（或方程） 目标函数： 要求的关于变量x ，y 的函数 线性目标函数：目标函数为关于变量x ，y 的一次函数可行解： 满足约束条件的解(x ，y ) 可行域： 所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 4. 求目标函数z =ax +by 的最值利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）根据约束条件画出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，令z =0，画出直线l 0； （3）在可行域内平行移动直线l 0，从而确定最优解； （4）将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．精讲精练1. 下列命题中正确的是（ ） A ． a b c d a c b d >>⇒->-，B ．a ba b c c>⇒>C ．ac bc a b <⇒<D ．22ac bc a b >⇒>2. 若01a b <<<，则（ ）A ．11b a> B ．11()()22a b <C ．n n a b >D ．11lg lg a b>3. 当0a b >>，0c d <<时，给出以下结论：①ad bc <；②22a c b d +>+；③b c a d ->-； ④3330c d a <<<． 其中正确结论的序号是______________．4. 设方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12 x x ，，且12x x <． （1）若0a <，则20ax bx c ++<的解集为____________； （2）若0a >，则20ax bx c ++≥的解集为____________．5. 已知不等式230x x t -+<的解集为{}|1 x x m x <<∈，R ．（1）t =_________，m =_________；（2）若函数2()4f x x ax =-++在区间( 1]-∞，上递增，求关于x 的不等式2log (32)0a mx x t -++-<的解集．6.解下列不等式．（1）|21||21|6++-≤x x（2）|21||4|2x x+-->7.已知函数()|4||3|=-+-．f x x x（1）若()<有解，则实数a的取值范围为_________．f x a（2）若()<无解，则实数a的取值范围为___________．f x a（3）若()f x a>对一切实数x均成立，则实数a的取值范围为_______________．（4）若()2|3|af x x--≥有解，则实数a的取值范围为_______________．8.写出下列平面区域表示的二元一次不等式组．（1）____________________；（2）___________________．（1）9.(21)(4)0x y x y++-+≤表示的平面区域为下图中的（）A．B．C．D．10.不等式组3434xx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积等于（）A．32B．23C．43D．3411.设变量x，y满足约束条件53151053x yx yx y+⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≥≤，则目标函数z=3x+5y的最大值为__________，最小值为_________．12.设变量x，y满足约束条件3602030x yx yy+-⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≤≤，则目标函数z=2x-y的最小值为（）A．7 B．-4 C．-1 D．413. 设变量x ，y 满足3010350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，设y k x =，则k 的取值范围是（ ）A ．14[]23，B ．4[2]3，C ．1[2]2，D ．1[)2+∞，14. 给出平面区域如图中的阴影部分所示，若使目标函数z =ax +y(a >0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则a 的值为 __________________．15. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件产品销售收入分别为3 000元、2 000元.甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上进行加工．在每台A 、B 设备上加工1件甲，设备所需工时分别为1 h 、2 h ；加工1件乙，设备所需工时分别为2 h 、1 h ，A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400 h 和500 h ． 问：如何安排生产可使收入最高？回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】1. D2. D3. ①②④4. （1）12( )( )x x -∞+∞，，； （2）12( ][ )x x -∞+∞，， 5. （1）22t m ==；；（2）13(0 )(1 )22，， 6. （1）33[ ]22-，；（2）5( 7)( )3-∞-+∞，， 7. （1）(1 )+∞，；（2）( 1]-∞，；（3）( 1)-∞，；（4）( 1]-∞，8.（1）4150220x yx yx y->⎧⎪+-<⎨⎪+-⎩≥；（2）36020yx yx y⎧⎪-+⎨⎪-+<⎩≥≥9. B10.C11.17-1112.C13.C14.3 515.每月生产甲产品200件，乙产品100件，可使收入最高.。