5
例1 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4) (m2 5m 6)i 是(1)实数; (2)纯虚数. 解 令 x m2 3m 4, y m2 5m 6, (1) 如果复数是实数, 则y 0,
由m2 5m 6 0知m 6或m 1. (2) 如果复数是纯虚数, 则x 0且y 0,
z2
3
4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
.
解 z1 5 5i (5 5i)(3 4i) z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
(15 20) (15 20)i 7 1 i.
25
55
z1 7 1 i. z2 5 5
13
例6 设 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z) 与z z. i 1i
第一节 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
2
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数i,
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
由m2 3m 4 0知m 4或m 1. 但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
6
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
3
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
i8 i4 i4 1;
……
一般地，如果 n是正整数, 则
i 4n 1, i 4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
(1)
1 1
i i
7
;
(2) i 1 i . 1i i
解 (1) 1 i (1 i)2 (1 i)2 i, 1 i (1 i)(1 i) 2
1 1
i i
7
(i )7
i.
(2) i 1 i i2 (1 i)2 1 2i
1i i
(1 i)i
1 i
(1 2i)(1 i) 3 1 i.
2
22
11
例4
计算 i 2 1i i
.
i 1
解
i2 1i i
(i 2)(i 1) (1 i)(i 1) i
i 1
i2
i 2i i2 1
i
2
1 3i 2i
(1 3i)(2 i) (2 i)(2 i)
2 i 6i (2)2
i2
3i 2
1
i.
12
例5
设
z1
5 5i,
或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2Re(z1 z2 ).
15
例8 化简(1) 5 12i ; (2) i i.
解 (1) 5 12i x iy, 5 12i ( x2 y2 ) 2xyi,
x2 y2 5,
x 3, y 2,
2xy 12
复数为什么不能比较大小？
9
5. 共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
(2) z z;
(3) z z Re(z)2 Im( z)2;
(4) z z 2Re(z), z z 2i Im(z).
以上各式证明略.
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例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
证 z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
解 z 1 3i i 3i(1 i) 3 1 i, i 1 i i i (1 i)(1 i) 2 2
Re(z) 3 , Im( z) 1 ,
2
2
z
z
Re(z)2
Im( z )2
32
2
1 2
2
5. 2
14
例7 设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 证明 z1 z2 z1 z2 2 Re(z1 z2 ).
4
2.复数: 对于任意两实数 x, y, 我们称 z x yi
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x.
5 12i (3 2i).
16
(2) i x yi,
x2 y2 0, 2xy 1
x y 1 , 2
i
1 2Βιβλιοθήκη 1 2i,
i
1 2
1 2
i
,
i i 2.
17
三、小结与思考
本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.
18
思考题
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
8
4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z, 若 z x iy, 则 z x iy.
例2 计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积. 解 ( x yi)(x yi) x2 ( yi)2 x2 y2. 结论： 两个共轭复数 z, z 的积是一个实数.
7
二、复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ,
1. 两复数的和:
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2