lim
n
xn
a
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
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我们可将准则II推广到函数的情形：
准则II′ 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
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例4 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
n2 n
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思考题：
lim n n
1
n2
n2
1
2
L
n2
1
n
？
解: 利用夹逼准则 . 由
n2
n2 n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n
2
n2
n
lim
n
1
1
n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n n2 1 n2 2
n2 n
解： n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1,
1
1 n2
由夹逼准则得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
第一章
第六节 极限存在准则 两个重要极限
（Existence criterion for limits & Two important limits）
一、极限存在的两个准则 二、两个重要极限 三、内容小结
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1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
n
e
(e 2.71828
)
也可以证明，当 x 取实数而趋于 或 时，函数
y
1
1 x
x
的极限都存在且都等于e
，即
lim
x
1
1 x
x
e
利用变量代换，可得更一般的形式
1
lim 1 (x) (x) e
（x ) 0
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n2
n2
1
2
n2
1
n
1
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夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(0,
2
)
时，
BD
1
x
o
C
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim 1 x0 cos
x
1
例5 求
（课本例7）
解: 令 t arcsin x, 则 x sin tt
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例1
求
lim
x
1
1 x
2
x
.
解:
原式
lim
x
1
1 x
x(2)
lim
x
1
1 x
x
2
e 2 .
例2
求
lim
x0
1
1
x x 3
lim
x0
1
x 3 x
g
1 3
3
解:
lim
x0
1
1
x x 3
lim
x0
1
x 3 x
g
1 3
3
lim x0
1
x 3
3
x
1 3
1
＝1111
11nn nn
1111
1 n
1
1 n
L
1
1 n
1
n 1 n 1
1 n
n 1
n2 n 1
n 1
＝
1
1
n 1
n 1
xn1
所以，数列
xn
1
1 n
n
是单调增加的．
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其次，证
xn
1
1 n
n有界．
显然，xn
x1
2
是类单似调于增加xn的 ．1 设1n数n列单调zn性 的1证1n 明n，1可则证得数列
2
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(3) 准则Ⅰ只能判定数列极限的存在性，而未给出 求极限的方法．
例如，数列 xn (1)n ，虽然有界但不单调； 数列 xn n ，虽然是单调的，但其无界， 易知，这两数列均发散．
(4) 对于准则I，函数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
(2) 利用准则Ⅰ来判定数列收敛必须同时满足 数列 单调和有界这两个条件．
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准则I′ 设函数 f (x) 在点 x0 的某个左邻域内单调 并且有界，则 f (x) 在 x0 的左极限 f (x0 ) 必存在．
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作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：
lim
n
1
1 n n
?
首先，证
xn
1
1 n
n
是单调的．
xn
1
1 n n
e 3
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2. 夹逼准则
准则II (1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1, N2 ,
当
时,
当n N2 时, zn a
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
x x0
x x0
(x )
(x )
lim f (x) A
x x0 (x )
准则II和准则II′统称为夹逼准则.
注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn 与 zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的.
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例3 求 lim( 1 1 1 ).
yn
1
1 n n
zn
1
1 n
n1
n 1 n1 n
1 n n1 n 1
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
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