第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。

引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。

所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。

这就是用相量分析电路的理论根据。

8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=； （4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。

解：（1）a j F =--=551θ∠25)5()5(22=-+-=a )13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限) 故1F 的极坐标形式为135251-∠=F（2）13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限）（3）43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F （4） 9010104∠==j F （5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a +=12arctana a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a = \需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。

8－2 将下列复数化为代数形式：（1） 73101-∠=F ；（2）6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6）135101-∠=F 。

解：（1）56.992.2)73sin(10)73cos(1073101j j F -=-⨯+-⨯=-∠= （2）85.1376.56.112sin 156.112cos 156.112152j F +-=+=∠=（3）56.006.1152sin 2.1152cos 2.11522.13j F +-=+=∠=（4）1090104j F -=-∠= （5）518051-=-∠=F~（6）07.707.7)135sin(10)135cos(10135101j F --=-+-=-∠=8－3 若ϕ∠=∠+∠175600100 A 。

求A 和ϕ。

解：原式=ϕϕsin 175cos 17560sin 60cos 100j ja A +=++根据复数相等的定义，应有实部和实部相等，即ϕcos 17510060cos =+ A虚部和虚部相等ϕsin 17560sin =A 把以上两式相加，得等式020*******=-+A A解得⎩⎨⎧-=⨯+±-=069.20207.10222062541001002A 所以505.01752307.10217560sin sin =⨯==A ϕ？34.30=ϕ8－4 求8－1题中的62F F •和62F F 。

解：19.7361.913.1435)20.978.2()34(62∠⨯∠=+⨯+-=⨯j j F F68.14305.4832.21605.48-∠=∠=94.6952.019.7361.913.143520.978.23462∠=∠∠=++-=j j F F8－5 求8－2题中的51F F +和51F F 。

解：1805731051-∠+-∠=+F F 5)73sin(10)73cos(10--+-=j $27.10278.956.908.2-∠=--=j10721807321805731051∠=+-∠=-∠-∠=F F8－6若已知。

,)60314sin(10,)60314cos(521A t i A t i+=+-=A t i )60314cos(43+= （1） 写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图； （2） 1i 与2i 和1i 与3i 的相位差； （3） 绘出1i 的波形图；（4） 若将1i 表达式中的负号去掉将意味着什么 （5） 求1i 的周期T 和频率f 。

…解：（1）)120314cos(5)18060314cos(5)60314cos(51-=-+=+-=t t t i )30314cos(10)60314sin(102 -=+=t t i故1i ，2i 和3i 的相量表达式为A I A I A I 6024,30210,12025321∠=-∠=-∠=其相量图如题解图（a ）所示。

题解8－6图（2）90)30(1202112-=---=-=ϕϕϕ180601203113-=--=-=ϕϕϕ（3）1i （t ）的波形图见题解图（b ）所示。

…（4）若将1i （t ）中的负号去掉，意味着1i 的初相位超前了180。

即1i 的参考方向反向。

（5）1i （t ）的周期和频率分别为ms s T 2002.031422====πωπHz T f 5002.0121====πω注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在比较相位差时，两个正弦量必须满足（1）同频率；（2）同函数，即都是正弦或都是余弦；（3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较。

8－7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为V U 30501∠=V U 150100,2-∠-=，其频率Hz f 100=。

求：（1）写出1u ， 2u 的时域形式；（2）1u 与2u 的相位差。

（1）V t ft t u )30628cos(250)302cos(250)(1+=+=π V t ft t u )180150628cos(2100)1502cos(2100)(2=-=--=π >V t )30628cos(2100+=（2）因为V U 30501∠=V V U30100150100,2∠=-∠-= 故相位差为03030=-=ϕ，即1u 与2u 同相位。

8－8 已知：V t t u )120314cos(2220)(1-=V t t u )30314cos(2220)(2+= （1） 画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率f 和周期T ； （2） 写出它们的相量和画出其相量图，求出它们的相位差； （3） 如果把电压2u 的参考方向反向，重新回答（1），（2）。

解：（1）波形如题解8－8图（a ）所示。

,题解8－8图有效值为 V u u 22021==2u 频率Hz f f 502314221====ππω周期s f T T 02.0501121====（2）1u 和2u 的相量形式为V U 1202201-∠= V U 302202∠=故相位差为1503012021-=--=-=ϕϕϕ相量图见题解图（b ）所示。

[（3）2u 的参考方向反向，2u （t ）变为－2u （t ），有效值、频率和周期均不变，－2u （t ）的相量为V U 150200*********-∠=-∠=故 1u 和 2u 的相位差为30)150(12021=---=-=ϕϕϕ波形图和向量图见题解图（a ）和（b ）。

8－9 已知一段电路的电压、电流为：V t u )2010sin(103 -= A t i )5010cos(23 -=（1） 画出它们的波形图和向量图；（2）求出它们的相量差。

解：（1）V t t u )11010cos(10)2010sin(1033-=-=，故u 和i 的相量分别为V U 110210-∠= A I5022-∠=—其波形和相量图见题解图(a)和图（b ）所示。

题解8－9图（2）相位差 60)50(110-=---=-=i u ϕϕϕ，说明电压落后于电流 60。

8－10 已知图示三个电压源的电压分别为：V t u a )10cos(2220 +=ω，V t u b )110cos(2220 -=ω，V t u c )130cos(2220 +=ω，求：（1）3个电压的和；（2）bc ab u u ,；（3）画出它们的相量图。

$题解8－10图解：a u ，b u ，c u 的相量为V U a 10220∠=V U b 110220-∠= V U c 130220∠=（1）应用相量法有13022011022010220∠+-∠+∠=++c b a U U U0=即三个电压的和 0)()()(=++t u t u t u c b a（2） 11022010220-∠-∠=-=b a ab U U U&V403220∠=130220110220∠--∠=-=c b bc U U UV803220-∠=（3）相量图如题解8－10图所示。

题解8－10图8－11 已知图（a ）中电压表读数为V V 30:1； V V 60:2；图（b ）中的V V 15:1；V V 80:2； V V 100:3。

（电压表的读数为正弦电压的有效值。

）求图中电压s U 。

题8－11图…解法一：（a ） 图：设回路中电流 0∠=I I，根据元件的电压、电流相量关系，可得题8－11图V RI I R U R 0300∠=∠==V I X I jX U L L L 906090∠=∠==则总电压 V j U U U L R S 6030+=+=所以s u 的有效值为 V U S 08.67603022=+=（b ） 图：设回路中电流相量A I I0∠=，因为 V RI I R U R 0150∠=∠==—V I X I jX U L L L908090∠=∠==V I X I jX U C C C 9010090-∠=-∠=-=所以总电压 V j j j U U U U C L R S 20151008015-=-+=++=故s u 的有效值为 V U S25201322=+= 解法二： 利用相量图求解。

设电流 0∠=I I 为参考相量，电阻电压R U 与I同相位，电感电压L U超前I 90，电容电压c U 要滞后I 90，总电压s U 与各元件电压向量构成一直角三角形。

题解8-11图（a ）和（b ）为对应原图（a ）和（b ）的相量图。

由题解图（a ）可得VU U U L R S 08.6760302222=+=+=由题解图（b ）可得VU U U U L C R S 258)80100(15)(2222=-+=-+=题解8－11图注：这一题的求解说明，R ，L ，C 元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系（如下表所示）是我…们分析正弦稳态电路的基础，必须很好地理解和掌握。