8
因此，如果函数������ ������ 是������0 的元素，那么它必然也是 ������1 的元素。这是由于 ������0 中任何元素的展开函数都属于 ������1 。 或者说， ������0 是������1 的一个子空间，即������0 ⊂ ������1 。
多分辨率分析
子空间������ ������ 的展开函数可以被表述为子空间������ ������+1 的展开函数的加权和
������������,������ ������ , ������������,������ ������ =0
然后可以将所有的可度量的、平方可积函数空间表示如下：
������2 ������ = ������ ������0 ⨁������ ������0 ⨁������ ������0+1 ⨁…
������ ������ =
������
ℎ������ ������
1 22 ������(2������
− ������)
������ ������ = ������ 2������ − ������(2������ − 1)
任何小波函数都可以表示成平移的双倍分辨率尺度函数的加权和。所以可得哈尔小波函数
以哈尔尺度函数为例来进行说明。考虑单位高度、单位宽度的尺度函数
������ ������ ∈
������0,0 ������ = ������(������) ������0,1 ������ = ������(������ − 1)
1, 0
0 ≤ ������ < 1 其他
������1,0 ������ = 2������(������) ������1,1 ������ = 2������(������ − 1)
10
小波函数的构建
定义小波函数������ ������ ，该小波函数跨越了相邻两尺度子空间������ ������ 和������ ������+1 的差异。
������2 = ������1 ⨁������1 = ������0 ⨁������0 ⨁������1
定义跨越子空间������ ������ 的小波集合{������������,������ ������ }
6
多分辨率分析
定义下式代表对任何������, ������上的生成子空间
������ ������ = ������������������������{������ ������,������ ������ } ������ 增加������将增加V������ 的大小，允许具有变化较小的变量或较细的细节函数包含在子空间中。这是由于������增大 时，用于表示子空间函数的������������,������ ������ 范围变窄，������ 有较小变化即可分开。
������������ ������������ (������)
其中，������������ 是具有实数值的展开系数，������������ 是具有实数值的展开函数。如果展开形式是唯一的，即对于 任何指定的 ������ ������ 只有一个 ������������ 序列与之相对应，那么 ������������ (������) 称为基函数。可展开的函数组成了一个函数空间， 被称展开集合的闭生空间，表示为
������������ (������)������������,������ (������)
其中，������0 是任意开始的尺度， ������������0 ������ 和������������ (������)分别是前两个公式中������������ 的改写。 ������������0 ������ 通常被称 为近似值（尺度系数）； ������������ (������)称为细节（小波系数）。 ������������0 ������ = ������ ������ , ������������0,������ (������) = ������������ (������) = ������ ������ , ������������,������ (������) = ������ ������ ������������0,������ ������ ������������ ������ ������ ������������,������ (������)������������
小波变换
赵迪迪
1
1
2
小波及其数学原理
快速小波变换算法
3
小波在图像处理中的应用
2
1
小波及其数学原理
• 小波的概念
• 多分辨率分析
小波及其数学原理 • 小波函数的构建
1
• 小波序列展开 • 离散小波变换
3
小波的概念
小波是定义在有限区间上且其平均值为零的一种函数。 傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，小波分析是把一个信号分解成一系列的小波， 这些小波都是通过将原始小波经过移位和缩放之后得到的。
+∞
根据������2 ������ = ������ ������0 ⨁������ ������0 ⨁������ ������0+1 ⨁…，可以写出
������ ������ =
������
������������0 ������ ������������0,������ ������ +
������=������0 ������
7
多分辨率分析
由于������0 中的函数不够精细，因而不能准确的表示该成员，所以该函数 不属于子集������0 。需要使用������1 中更为精细（分辨率更高）的函数来对其进行 表示，即采用下述这个三项和的形式
������ ������ = 0.5������1,0 ������ + ������1,1 ������ − 0.25������1,4 ������
左图演示了将������0,0 ������ 分解为������1 展开函数的和式。
������0,������ ������ =
1 2
������1,2������ ������ +
1 2
������1,2������+1 ������ ������0 ⊂ ������1 ⊂ ������2
������0
������ = ������������������������{������������ ������ }
������
下面来考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数φ(������)组成的展开函数集合 ������������,������ ������ ，其中
������������,������ ������ = 2������/2 ������(2������ ������ − ������) ������决定了������������,������ ������ 在������轴上的位置，������决定了������������,������ ������ 的宽度，即沿������ 轴的宽或窄的程度，而������/2控制其高 度或幅度。由于������������,������ ������ 的形状随������发生变换，������(������)被称为尺度函数。通过选择适当的������ ������ ，{������������,������ ������ }可以 决定生成空间������2 (������)，也就是可以决定所有可度量的平方可积函数的集合。
������ ������ = ������������ ������ + ������������ (������)
������������ ������ 是������ ������ 使用������0 尺度的近似，而������������ (������)为������ ������ − ������������ ������ 的差，用������0 小波的和表示。这 两个展开式将������ ������ 用类似高通和低通滤波器的方法分成两部分。 ������ ������ 的低频部分在������������ ������ 中 得到，而高频细节则在������������ (������)中编码。
12
小波函数的构建
已知哈尔尺度函数的系数，使用ℎ������ ������ 和ℎ������ ������ 的关系式，得到相应的小波函数系数为
ℎ������ 0 = (−1)0 ℎ������ 1 − 0 = 1/ 2 ℎ������ 1 = (−1)1 ℎ������ 1 − 1 = −1/ 2
������
尺度与小波函数子空间：������ ������+1 = ������ ������ ⨁������ ������
这里⨁表示空间并集（类似于集合并集）。 ������ ������+1 中的正交补集是������ ������ ，而且 ������ ������ 中的所有成员对于������ ������ 中的所有成员都正交。
������ ������ =
������
������������ ������������0,������ (������)
而如果������(������) ∈ ������ ������ ，则有 ������ ������ =
������
������������ ������������,������ (������)
������������+1,������ ������ = ������������,������ ������ =
������+1 2 2 ������(2������+1 ������
− ������)
������������ ������������+1,������ (������)