创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*相交线与平行线综合复习（二）班级：姓名：解答题1．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①；②．（2）如果∠COP=20°，则①∠BOP=°；②∠POF=°．（3）∠EOC与∠BOF相等吗？，理由是．（4）如果∠COP=20°，求∠DOE的度数．2．（1）如图1，直线AB、CD相交于点O，FO⊥CD于点O，且∠EOF=∠DOB．求∠EOB的度数．（2）如图2，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠AOC=58°，∠DOE=90°．求∠BOE的度数．3．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG平分∠COF，∠1=30°，∠2=45°．求∠3的度数．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=32°，求∠2和∠3的度数．5．如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使∠1=∠2，∠AOG=∠FOE，∠BOD=56°，求∠FOC．6．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分∠BOF．（1）∠AOD的对顶角是，∠BOC的邻补角是；（2）若∠AOD=20°，∠DOF：∠FOB=1：7，求∠EOC的度数．7．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF=65°．求：（1）∠AOC的度数；（2）∠BOE的度数．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*8．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠AOD，（1）求∠EOF的度数．（2）∠AOE：∠BOG：∠AOF=2：4：7，求∠COG的度数．9．如图，直线AB与CD相交于点D，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中∠AOF的余角有；（把符合条件的角都填出来）（2）如果∠AOD=140°，那么根据，可得∠BOC=度；（3）∠EOF=∠AOD，求∠EOF的度数．10．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①；②．（2）如果∠AOD=40°．①那么根据，可得∠BOC=度．②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP=∠=度．③求∠BOF的度数．11．如图，AO⊥BC，DO⊥OE，OF平分∠AOD，∠AOE=35°．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（1）求∠COD的度数；（2）求∠AOF的度数；（3）你能找出图中有关角的等量关系吗？（写出3个）12．如图，平面上有三点A、B、C．（1）画直线AB，画射线BC （不写作法，下同）；（2）过点A画直线BC的垂线，垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交射线BC 于点H．（3）线段的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点到直线的距离．（4）线段AG、AH的大小关系为AG AH．理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短．13．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOD=40°，按下列要求画图并回答问题：（1）在直线AB上方画射线OE，使OE⊥AB；（2）分别在射线OA、OE上截取线段OM、ON，使OM=ON，连结MN；（3）画∠AOD的平分线OF交MN于点F；（4）直接写出∠COF和∠EOF的度数：∠COF=度，∠EOF=度．14．如图，直线AB．CD相交于点O，OM⊥AB，NO⊥CD．（1）若∠1=∠2，求∠AOD的度数；（2）若∠1=∠BOC，求∠2和∠MOD．15．如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（1）图中与∠COE互余的角是；图中与∠COE互补的角是；（把符合条件的角都写出来）（2）如果∠AOC=∠EOF，求∠AOC的度数．16．如图，已知，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=60°，过点O 作OF⊥CD．求∠EOF的度数．17．（1）在图1中以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．（2）量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是．（3）同样在图2和图3中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图2和图3中∠P和∠1的之间数量关系．（不要求写出理由）图2：图3：（4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角．（不要求写出理由）18．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OC，若∠1=50°，分别求∠2，∠3+∠1的度数．19．（2016春•高安市校级月考）已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．（2）如图2中，∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m°的代数式表示写出∠M=．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*20．已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B在射线OM、OE上，点C是射线ON上的一个动点，连接AC交射线OE于点D，设∠OAC=x．（1）填空：若AB∥ON，①当∠BAD=∠ABD时，（如图①），则x的度数为；②当∠BAD=∠BDA时，（如图②），则x的度数为；（2）若AB⊥OM于点A（如图③），且△ADB是等腰三角形，求x的度数．21．如图，AB∥CD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点．（1）求证：∠P=∠BEP+∠PFD；（2）若M为CD上一点，MN交PF于N．证明：∠PNM=∠NMF+∠NFM；（说明：不能运用三角形内角和定理）（3）在（2）的基础上，若∠FMN=∠BEP，试说明∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论．22．如图，AB∥CD，∠AEC=90°（1）当CE平分∠ACD时，求证：AE平分∠BAC；（2）移动直角顶点E点，如图，∠MCE=∠ECD，当E点转动时，问∠BAE与∠MCG 是否存在确定的数量关系，并证明．（提示：可以作∠MCG的平分线）23．如图，已知两条线段AB∥CD，点E不在AB、CD所在的直线上．∠ABE=α，∠CDE=β，∠BED=γ．当E点在不同位置时，α、β、γ之间的数量关系也会有所不同．请你再画出两种不同的情况，并写出α、β、γ之间的数量关系．参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．（2013秋•惠山区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①∠BOP=∠COP；②∠AOD=∠BOC．（2）如果∠COP=20°，则①∠BOP=20°；②∠POF=70°．（3）∠EOC与∠BOF相等吗？相等，理由是同角的余角相等．（4）如果∠COP=20°，求∠DOE的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义和对顶角相等解答；创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（2）根据角平分线的定义和垂直的定义解答；（3）根据同角的余角相等解答；（4）根据角平分线的定义求出∠BOC，然后根据对顶角相等求出∠AOD，再根据∠DOE=∠AOD+∠AOE进行计算即可得解．【解答】解：（1）①∠BOP=∠COP，②∠AOD=∠BOC；（2）①∠BOP=∠COP=20°，②∠POF=90°﹣20°=70°；（3）相等，同角的余角相等；故答案为：（1）∠BOP=∠COP，∠AOD=∠BOC，（2）20，70，（3）相等，等角的余角相等；（4）∵OP是∠BOC的平分线，∴∠BOC=2×20°=40°，∴∠AOD=∠BOC=40°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE，=40°+90°，=130°．【点评】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，余角和补角，是基础题，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．2．（2013秋•仪征市期末）（1）如图1，直线AB、CD相交于点O，FO⊥CD于点O，且∠EOF=∠DOB．求∠EOB的度数．（2）如图2，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠AOC=58°，∠DOE=90°．求∠BOE的度数．【分析】（1）根据垂直的定义可以得到∠FOD=90°，即∠EOF+∠EOD=90°，然后根据∠EOF=∠DOB，即可求解；（2）首先根据角平分线的定义求得∠AOD的度数，即可求得∠AOE的度数，则∠BOE 即可求解．【解答】解：（1）∵FO⊥CD，∴∠FOD=90°，即∠EOF+∠EOD=90°，∵∠EOF=∠DOB，∴∠DOB+∠EOD=90°，即∠EOB=90°；（2）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠AOC=×58°=29°，∵∠AOB=180°，∠DOE=90°，∴∠BOE=180°﹣90°﹣29°=61°．【点评】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义和垂直的定义，是一个需要熟记的内容．3．（2014春•中山期末）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG平分∠COF，∠1=30°，∠2=45°．求∠3的度数．【分析】根据对顶角的性质，∠1=∠BOF，∠2=∠AOC，从而得出∠COF=105°，再根据OG平分∠COF，可得∠3的度数．【解答】解：∵∠1=30°，∠2=45°∴∠EOD=180°﹣∠1﹣∠2=105°∴∠COF=∠EOD=105°又∵OG平分∠COF，∴∠3=∠COF=52.5°．【点评】本题考查了对顶角的定义，以及角平分线的性质，是基础题比较简单．4．（2013秋•如皋市校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=32°，求∠2和∠3的度数．【分析】根据角平分线的性质，可得∠AOD的度数，根据对顶角的性质，可得∠2的度数，再根据三个角的和等于180°，可得∠3的度数．【解答】解：OE平分∠AOD，∠1=32°，∠AOD=2∠1=64°，由对顶角得∠2=∠AOD=64°；∵∠2+∠FOC+∠3=180°，∠FOC=90°，∴∠3=180°﹣∠FOC﹣∠2=180°﹣90°﹣64°，∠3=26°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，对顶角相等，邻补角互补是解题关键．5．（2014秋•吉林校级期末）如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使∠1=∠2，∠AOG=∠FOE，∠BOD=56°，求∠FOC．【分析】求出∠FOC=∠AOC，再根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵∠1=∠2，∠AOG=∠FOE，∴∠1+∠FOE=∠2+∠AOG，∴∠FOC=∠AOC，∵∠AOC=∠BOD，∠BOD=56°，∴∠FOC=56°．【点评】本题考查了对顶角相等，熟记性质并准确识图求出∠FOC=∠AOC是解题的关键．6．（2014秋•硚口区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分∠BOF．（1）∠AOD的对顶角是∠BOC，∠BOC的邻补角是∠AOC，∠BOD；（2）若∠AOD=20°，∠DOF：∠FOB=1：7，求∠EOC的度数．【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义可直接得出答案；（2）根据∠AOD=20°和∠DOF：∠FOB=1：7，求出∠BOF等于140°，所以∠EOB 等于70°，所以∠EOC等于90°．【解答】解：（1）∵直线AB与CD相交于点O，∴∠AOD的对顶角是∠BOC，∠BOC的邻补角是∠AOC，∠BOD；（2）∵OE平分∠BOF，∴∠BOE=EOF，∵∠DOF：∠FOB=1：7，∠AOD=20°，∴∠DOF=∠BOD=×（180°﹣20°）=20°，∴∠BOF=140°，∴∠BOE=∠BOE=∠BOF=×140°=70°，∴∠EOC=∠BOC+∠EOB=70°+20°=90°；所以∠EOC等于90°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角以及角平分线的性质，主要利用对顶角相等，邻补角的定义和角平分线的定义求解．7．（2014秋•南通期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF=65°．求：（1）∠AOC的度数；（2）∠BOE的度数．【分析】（1）根据OF⊥AB得出∠BOF是直角，则∠BOD=90°﹣∠DOF，再利用对顶角相等得出∠AOC=∠BOD；（2）由OE⊥CD得出∠DOE=90°，则∠BOE=90°﹣∠BOD．【解答】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∴∠BOD=90°﹣∠DOF=90°﹣65°=25°，∴∠AOC=∠BOD=25°；（2）∵OE⊥CD，∴∠DOE=90°，∴∠BOE=90°﹣∠BOD=90°﹣25°=65°．【点评】本题考查了对顶角相等的性质，垂直的定义以及角的计算，是基础题，比较简单．准确识图是解题的关键．8．（2013秋•宜兴市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF 平分∠AOD，（1）求∠EOF的度数．（2）∠AOE：∠BOG：∠AOF=2：4：7，求∠COG的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠AOE和∠AOF，然后根据∠EOF=∠AOE+∠AOF计算即可得解；（2）根据比值求出∠AOE和∠AOF的度数，再求出∠BOG，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据平角等于180°求出∠BOC，再根据∠COG=∠BOC﹣∠BOG列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠AOC，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=∠AOD，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°；（2）∵∠AOE：∠BOG：∠AOF=2：4：7，∠AOE+∠AOF=90°，创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*∴∠AOE=20°，∠AOF=70°，∠BOG=40°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOE=2×20°=40°，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=140°，∴∠COG=∠BOC﹣∠BOG=140°﹣40°=100°．答：∠EOF的度数为90°，∠COG的度数为100°．【点评】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，邻补角的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键．9．（2014秋•无锡校级期末）如图，直线AB与CD相交于点D，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中∠AOF的余角有∠EOF，∠AOC，∠BOD；（把符合条件的角都填出来）（2）如果∠AOD=140°，那么根据对顶角相等，可得∠BOC=140度；（3）∠EOF=∠AOD，求∠EOF的度数．【分析】（1）根据余角的定义、性质，可得答案；（2）根据对顶角的性质，可得答案；（3）根据余角的性质，可得∠EOF与∠BOD的关系，根据平角的定义，可得答案．【解答】解：（1）图中∠AOF的余角有∠EOF，∠AOC，∠BOD；（把符合条件的角都填出来）（2）如果∠AOD=140°，那么根据对顶角相等，可得∠BOC=140度；故答案为：∠EOF，∠AOC，∠BOD；对顶角相等，140；（3）∵∠EOF+AOF=90°，∠AOC+∠AOF=90°，∴∠EOF=∠AOC=∠BOD．∵∠AOD+∠BOD=180°，∠EOF=∠AOD∴5∠EOF+∠BOD=180°，即6∠EOF=180°，∠EOF=30°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，利用了余角的性质，对顶角的性质，邻补角的性质．10．（2014秋•宝应县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①∠COE=∠BOF；②∠COP=∠BOP．（2）如果∠AOD=40°．①那么根据对顶角相等，可得∠BOC=40度．②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP=∠BOC=20度．③求∠BOF的度数．【分析】（1）根据同角的余角相等可知∠COE=∠BOF，利用角平分线的性质可得∠COP=∠BOP，对顶角相等的性质得∠COB=∠AOD．（2）①根据对顶角相等可得．②利用角平分线的性质得．③利用互余的关系可得．【解答】解：（1）∠COE=∠BOF、∠COP=∠BOP、∠COB=∠AOD（写出任意两个即可）；（2）①对顶角相等，40度；②∠COP=∠BOC=20°；③∵∠AOD=40°，∴∠BOF=90°﹣40°=50°．【点评】结合图形找出各角之间的关系，利用角平分线的概念，余角的定义以及对顶角相等的性质进行计算．11．（2013秋•滦南县期末）如图，AO⊥BC，DO⊥OE，OF平分∠AOD，∠AOE=35°．（1）求∠COD的度数；（2）求∠AOF的度数；（3）你能找出图中有关角的等量关系吗？（写出3个）【分析】（1）∠COD=∠AOC+∠AOD，求出∠AOD即可，而∠AOD=∠DOE﹣∠AOE；（2）根据∠AOF=（∠DOE﹣∠AOE）可以求解；（3）根据角平分线以及垂直的定义，即可求解．【解答】解：根据题意，（1）∵AO⊥BC，DO⊥OE，∴∠AOC和∠DOE是直角，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°+（90°﹣35°）=145°；（2）∵OF平分∠AOD，∠AOF=（∠DOE﹣∠AOE）=（90°﹣35°）=27.5°．（3）∵AO⊥BC，DO⊥OE，∴∠AOC和∠DOE是直角，两角相等；OF平分∠AOD，则∠AOF=∠DOF；AO⊥BC，则∠AOB=∠AOC．（答案不唯一）【点评】根据所给的条件，明确各角之间的关系是解题的关键．12．（2013秋•泰兴市校级期末）如图，平面上有三点A、B、C．（1）画直线AB，画射线BC （不写作法，下同）；（2）过点A画直线BC的垂线，垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交射线BC于点H．（3）线段AG的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点H到直线AB的距离．（4）线段AG、AH的大小关系为AG＜AH．理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短最短．【分析】（1）（2）根据垂线的画法画图即可；（3）根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离填空；（4）根据垂线段的性质：垂线段最短可得答案．【解答】解：（1）（2）如图所示：（3）线段AG的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点H到直线AB 的距离．（4）AG＜AH．理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．【点评】此题主要考查了垂线，以及垂线的性质，关键是正确画出图形，掌握点到直线的距离的定义．13．（2014秋•贵港期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOD=40°，按下列要求画图并回答问题：（1）在直线AB上方画射线OE，使OE⊥AB；（2）分别在射线OA、OE上截取线段OM、ON，使OM=ON，连结MN；（3）画∠AOD的平分线OF交MN于点F；（4）直接写出∠COF和∠EOF的度数：∠COF=110度，∠EOF=20度．【分析】（1）根据题意化成OE⊥AB即可；（2）用圆规作ON=OM，连接MN即可；（3）作∠AOD的平分线即可得出答案；（4）求出∠AOD，求出∠AOF，即可求出答案．【解答】解：（1）如图，射线OE；（2）如图ON、OM，线段MN；（3）如图OF平分∠AOD，交MN于点F；（4）∠COF=110°∠EOF=20°，理由是：∵∠BOD=40°，∴∠AOD=180°﹣40°=140°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=∠AOD=70°，∴∠EOF=90°﹣70°=20°，∵∠AOC=∠BOD=40°，∴∠COF=70°+40°=110°，故答案为：110，20．【点评】本题考查了角的有关计算和画图的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．14．（2014秋•四川校级期末）如图，直线AB．CD相交于点O，OM⊥AB，NO⊥CD．（1）若∠1=∠2，求∠AOD的度数；（2）若∠1=∠BOC，求∠2和∠MOD．【分析】由已知垂直直线可以得到直角：∠BOM=∠AOM=∠NOD=∠CON=90°（1）∠AOD=∠NOD+（90°﹣∠2）；（2）根据邻补角的定义来求∠2，根据图形和对顶角的定义来求∠MOD．【解答】解：∵OM⊥AB，NO⊥CD，∴∠BOM=∠AOM=∠NOD=∠CON=90°（1）∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=45°．∴∠AOD=∠NOD+（∠AON﹣∠2）=90°+90°﹣45°=135°，即∠AOD的度数是135°；创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（2）∵∠1+∠BOM=∠BOC，∠1=∠BOC，∴∠BOC=120°，∴∠2=180°﹣∠BOC=60°．∵∠BOD=∠2=60°，∴∠MOD=∠MOB+∠BOD=90°+∠2=90°+60°=150°，即∠MOD=150°．【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角．本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．15．（2013秋•泰兴市校级期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，（1）图中与∠COE互余的角是∠AOC，∠BOD；图中与∠COE互补的角是∠BOF，∠EOD；（把符合条件的角都写出来）（2）如果∠AOC=∠EOF，求∠AOC的度数．【分析】（1）根据直角和互余、互补的定义求出即可；（2）设∠AOC=5x°，则∠EOF=13x°，求出∠EOC=∠AOF=90°﹣∠AOC=（13x﹣5x）=4x，得出方程4x+5x=90，求出即可．【解答】解：（1）与∠COE互余的角是∠AOC，∠BOD；图中与∠COE互补的角是∠BOF，∠EOD，故答案为：∠AOC，∠BOD；∠BOF，∠EOD．（2）∵∠AOC=∠EOF，∴设∠AOC=5x°，则∠EOF=13x°，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠FOC=90°，∴∠EOC=∠AOF=90°﹣∠AOC=（13x﹣5x）=4x，∴4x+5x=90，∴x=10，则∠AOC=5x°=50°．【点评】本题考查了角的有关计算，垂线，互余、互补等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．16．（2013秋•盐都区期末）如图，已知，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=60°，过点O作OF⊥CD．求∠EOF的度数．【分析】求出∠BOD，根据角平分线求出∠DOE，代入∠EOF=∠DOF﹣∠DOE求出即可．【解答】解：∵∠AOC=60°，∴∠DOB=∠AOC=60°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠DOB=30°，∵OF⊥CD，∴∠DOF=90°，∴∠EOF=90°﹣30°=60°．【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力．17．（2014春•普陀区校级期末）（1）在图1中以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．（2）量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是∠P+∠1=180°．（3）同样在图2和图3中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，（不要求写出理由）图2：∠P=∠1分别写出图2和图3中∠P和∠1的之间数量关系．图3：∠P+∠1=180°（4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补．（不要求写出理由）【分析】（1）过点P作∠1两边的垂线段即可，（2）从图形中得出∠P+∠1=180°，（3）分别作图得出角的关系．（4）由上面的情况得出结论．【解答】解：（1）如图1，（2）∠P+∠1=180°，故答案为：∠P+∠1=180°．（3）如图2，图3，∠P=∠1，∠P+∠1=180°故答案为：∠P=∠1，∠P+∠1=180°．（4）相等或互补故答案为：相等或互补．【点评】本题主要考查了垂线的定义，解题的关键是分析题意，利用作图即可解决问题．18．（2014春•忠县校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OC，若∠1=50°，分别求∠2，∠3+∠1的度数．【分析】先由垂直的定义得∠COE=90°，又知∠1=50°即可求得∠2，再根据互补的性质可得∠3，再与∠1相加即可．【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠COE=90°，∴∠1+∠2=180°﹣∠COE=90°，∵∠1=50°，∴∠2=40°，∴∠3=180°﹣∠2=140°，∴∠3+∠1=140°+50°=190°．【点评】本题利用垂直的定义，互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．19、（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．（2）如图2中，∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m°的代数式表示写出∠M=．【分析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=140°，从而得到∠BFD的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°﹣∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可；（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠E=360°，将∠E=m°代入可得．【解答】解：（1）作EG∥AB，FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，∴∠ABE+∠CDE=280°，∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，∴∠ABF+∠CDF=140°，∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°；（2）∵∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°，∵∠M=∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E=360°．（3）由（2）结论可得，2n∠ABN+2n∠CDM+∠E=360°，∠M=∠ABM+∠CDM，解得：．故答案为：【点评】本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．20．（2015春•宁化县校级月考）已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B在射线OM、OE上，点C是射线ON上的一个动点，连接AC交射线OE于点D，设∠OAC=x．（1）填空：若AB∥ON，①当∠BAD=∠ABD时，（如图①），则x的度数为120°；②当∠BAD=∠BDA时，（如图②），则x的度数为60°；（2）若AB⊥OM于点A（如图③），且△ADB是等腰三角形，求x的度数．【分析】（1）①先根据角平分线的性质求出∠2的度数，再由平行线的性质即可得出结论；②先由∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°得出∠BAD=80°，再根据三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数；（2）分当点D在线段OB上，点D在射线BE上两种情况进行讨论．【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON，∴∠1=∠2=20°．∵AB∥ON，∠BAD=∠ABD，∴∠BAD=20°．∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，∴∠OAC=120°②∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°，∴∠BAD=80°．∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，∴∠OAC=60°．故答案为：120°，60°；（2）①当点D在线段OB上时，若∠BAD=∠ABD，则x=20°；若∠BAD=∠BDA，则x=35°；若∠ADB=∠ABD，则x=50°．②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125°．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20°、35°、50°、125°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．21．（2015春•咸宁校级月考）如图，AB∥CD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点．（1）求证：∠P=∠BEP+∠PFD；创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（2）若M为CD上一点，MN交PF于N．证明：∠PNM=∠NMF+∠NFM；（说明：不能运用三角形内角和定理）（3）在（2）的基础上，若∠FMN=∠BEP，试说明∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论．【分析】（1）过P作PQ平行于AB，由AB与CD平行，得到PQ与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代换就可得证；（2）作NH∥DC，利用平行线的性质得出∠PNH=∠NFM，∠MNH=∠NMF，得出结论；（3）由（1）（2）中的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD，∠PNM=∠NMF+∠NFM；根据∠FMN=∠BEP，等量代换即可得证．【解答】解：（1）如图，过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，∵∠EPF=∠1+∠2，∴∠EPF=∠BEP+∠PFD；（2）∵作NH∥DC，∴∠PNH=∠NFM，∠MNH=∠NMF，∴∠PNM=∠PNH+∠MNH=∠NMF+∠NFM．（3）由（1）的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD，∵∠FMN=∠BEP，∴∠EPF=∠FMN+∠PFD，∵∠PNM=∠NMF+∠NFM，∴∠PMN=∠FMN+∠PFD，则∠EPF=∠PMN．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．22．（2015春•仙桃校级月考）如图，AB∥CD，∠AEC=90°（1）当CE平分∠ACD时，求证：AE平分∠BAC；（2）移动直角顶点E点，如图，∠MCE=∠ECD，当E点转动时，问∠BAE与∠MCG 是否存在确定的数量关系，并证明．（提示：可以作∠MCG的平分线）【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠BAE+∠CAE+∠DCE+∠ACE=180°，再由∠AEC=90°可知∠CAE+∠ACE=90°，故可得出∠BAE+∠DCE=90°，由CE平分∠ACD 可知∠DCE=∠ACE，故∠ACE+∠BAE=90°，由此可得出结论；（2）延长AE交DG于点F，根据平行线的性质可得出∠BAE=∠AFC，由∠AEC=90°可知∠CEF=90°，故可得出∠AFC+∠ECD=90°，再根据∠MCE=∠ECD，MCE+∠ECD=180°﹣∠MCG可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE+∠CAE+∠DCE+∠ACE=180°．∵∠AEC=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠BAE+∠DCE=90°．∵CE平分∠ACD，∴∠DCE=∠ACE，∴∠ACE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC；（2）∠BAE=∠MCG．证明：∵延长AE交DG于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠AFC．∵∠AEC=90°，∴∠CEF=90°，∴∠AFC+∠ECD=90°．∵∠MCE=∠ECD，MCE+∠ECD=180°﹣∠MCG，∴∠BAE+（180°﹣∠MCG）=90°，即∠BAE=∠MCG．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（2014•北仑区模拟）如图，已知两条线段AB∥CD，点E不在AB、CD所在的直线上．∠ABE=α，∠CDE=β，∠BED=γ．当E点在不同位置时，α、β、γ之间的数量关系也会有所不同．请你再画出两种不同的情况，并写出α、β、γ之间的数量关系．【分析】在图1中过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得出结论；在图2中延长AB交DE于点F，先根据平行线的性质得出∠β=∠BFE，再由三角形外角的性质可得出结论．【解答】解：在图1中过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠α=∠BEF，∠β=∠DEF，∴∠α+∠β=∠γ；在图2中延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠β=∠BFE．∵∠α是△BEF的外角，∴∠α=∠γ+∠BFE，即∠α=∠γ+∠β．如图3，可得∠α+∠β+∠γ=360°；如图4，可得∠α+∠β+∠γ=180°．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*。