2020-2021莆田涵江区九年级上学期期末质检数学试卷
(分两卷共6页，三大题，共25小题;满分150分;考试时间120分钟)
注意:本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置中
一、精心选一选:本大题共10小题，每小题4分，共40分;每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的，答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
2.抛物线y＝(x−1)2−4的顶点坐标为
A.(4，1)
B.(1，4)
C.(−1，4)
D.(1，−4)
3.一元二次方程x2+x−2＝0的根的情况是
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
4.为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点
A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，CE⊥BC设BC与AE
交于点D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这
条河的大致宽度是
A.60m
B.90m
C.100m
D.120m
5.若点(2，5)，(4，5)在抛物线y＝ax2+bx+c上，则它的对称轴是
A.x=2
B.x=3
C.x=4
D.x=5
6.1275年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步.设阔(宽)为x步，则所列方程正确的是
A.12x=864
B.x(x−12)=864
C.x(x+12)=864
D.(x−12)(x+12)=864
，下列结论不正确的是
7.已知反比例函数y=−3
x
A.图象必经过点(−1，3)
B.图象在第二、四象限内
C.y随x的增大而增大
D.图象关于原点对称
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD的度数是
A.70°
B.110°
C.120°
D.140°
9.如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ADB＝∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠BAD＝45°，AB＝4，连接DC，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转一周，则线段DC长的取值范围是
A.2≤DC≤4
B.2√2≤DC≤4
C.2√2−2≤DC≤2√2
D.2√2−2≤DC≤2√2+2
第8题图第9题图第10题图
10.如图，点A在双曲线y=3
x 上，点B在双曲线y=k
x
(k≠0)上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴
于D.连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为
A.6
B.9
C.10
D.12
第Ⅱ卷非选择题
二、细心填一填:本大题共6小题，每小题4分，共24分，请填在答题卡的相应位置上
11.点P(1，−2)关于原点的对称点P的坐标是
12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1，2)，AB⊥x
轴交x轴于点B，以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2
倍得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为
13.已知扇形所在圆半径为4，弧长为6π，则扇形面积为
14.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为
第14题图
15.如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是
16.在平面直角坐标系xOy中，A(−m，0)，B(m，0)(其中m>0)，点P在以点C(3，4)为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，则m的最小值为
第15题图第16题图
三、耐心做一做:本大题共9小题，共86分，请解答在答题卡的相应位置上，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤
17.(本小题满分8分)
解方程：x2+2x＝1
18.(本小题满分8分)
如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3.
(1)(4分)以BC边上一点为圆心作O，使⊙O分别与AC、AB都相切(要求:尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)(4分)求⊙O的面积.
20.(本小题满分8分)
(x>0)的图象和△ABC都在第一象限内，如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k
x
AB＝AC＝5
，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为(3，5).
2
(x>0)的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
(1)(4分)若反比例函数y=k
x
(2)(4分)若将△ABC向下平移m(m>0)个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上点，且BE＝BD (1)(4分)求证：△ABE~△ACD；
的值.
(2)(4分)若BD＝1，CD＝2，求AE
AD
22.(本小题满分10分)
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD＝∠B，AD⊥CD.
(1)(5分)求证：CD是⊙O的切线；
(2)(5分)若AD＝1，OA＝2，求AC的值.
23.(本小题满分10分)
商场销售某种T恤，平均每天可销售40件，每件盈利20元.为尽量减小库存，提高日盈利，商场决定采取适当的降价措施.经调査发现，若该种T恤每件降价x元，则每天的销售量y(件)与x之间的关系如图1所示，每天销售该种T恤的日盈利额S(元)与x之间的关系如图2所示(1)(2分)当T恤降价x元时，每件T恤盈利元，商场日销售件;(用含x的代数式表示)
(2)(4分)若商场计划销售该种T恤的日盈利达到900元，求每件T恤应降价多少元?
(3)(4分)直接写出图2中顶点A的坐标，并说明点A的实际意义
24.(本小题满分12分)
矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1.将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F接EF(如图①)
(1)(4分)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图②)，求PC的长
(2)探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中，请你观察、猜想，并解答:
①(3分)PF
的值是否发生变化?请说明理由；
PE
②(5分)求从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长.
25.(本小题满分14分)
已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，一次函数y＝kx+b的图象经过抛物线上的点C(m，n)
(1)(3分)求抛物线的解析式；
(2)(5分)若m＝3，直线l与抛物线只有一个公共点，求k的值；
(3)(6分)若k＝−2m+2，直线l与抛物线的对称轴相交于点D，点P在对称轴上.当PD＝PC时，求点P的坐标.。