S
（28）
2.基本运算公式的算子表示 例1：证明 ∇ (uv ) = (∇ u ) v + u (∇ v ) （9） 证:
∂ v ∂ v ∂ v ∇ ( uv ) = ( i + j+ k ) uv ∂z ∂x ∂y ∂ uv v ∂ uv v ∂ uv v = i + j+ k ∂z ∂x ∂y ∂u v ∂v ∂v ∂u v ∂v ∂u v = u （ + v ）i + u （ + v ）j + u （ + v ）k ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂v v ∂v v ∂v v ∂u v ∂u v ∂u v = u( i + k ) + v( i + j+ k) j+ ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y = u ∇ v + v∇ u
v 1 r ∇ =− 3 r r
v v v ∇ (a • r ) = a
（
v a 为常矢）
v v v v r v ∇ • ( r a ) = ∇ r • a = • a （ a 为常矢） r v v v v r v ∇ × ( r a ) = ∇ r ） a = × a （ a 为常矢） （ × r
旋度运算公式
v v 1） rot ( c A ) = crot A （ c v v ∇ × (cA) = c∇ × A
为常数） （3）
v v v v 2） rot ( A ± B ) = rotA ± rotB v v v v ∇ × ( A ± B) = ∇ × A ± ∇ × B
（6）
v v v 3） rotuA = urot A + gradu × A（ u 为数性函数） v v v ∇ × uA = u∇ × A + ∇ u × A （11）
2.基本运算公式的算子表示 奥氏公式
v v v ∫∫ A • dS = ∫∫∫ divAdV
S Ω
v v v ∫∫ A • dS = ∫∫∫∇ • AdV
S Ω
（27）
斯托克斯公式
∫
l
v v A • dl = v v A • dl =
v v ∫∫ rot A • d S
S
∫
l
v v ∫∫ (∇个矢量，但首先是一个算子，因此 与矢量的运算法则略有不同。 矢量的点积可以交换，但 ∇ 算子和场的点积不 能交换。
v v v v A• B = B• A
v v A•∇ ≠ ∇ • A
矢量的叉积可以反交换，但 ∇ 算子和场的叉积 不能交换。
v v v v A× B = −B × A
v v A × ∇ ≠ −∇ × A
梯度运算公式 (1) gradc = 0 C为常数
∇c = 0
(2) gradcu = cgradu C为常数
∇ cu = c ∇ u
（1）
(3) grad (u ± v ) = gradu ± gradv
∇ (u ± v ) = ∇ u ± ∇ v
（4）
(4) grad (uv ) = ugradv + vgradu
2
拉普拉斯算子既可以与数量场作用，也可以与 矢量场作用。 数量场 u
v 矢量场 A
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + 2 + 2 = Δu ∂x ∂y ∂z v v v 2 2 2 v v ∂ A ∂ A ∂ A 2 + 2 + 2 = ΔA ∇ A= 2 ∂z ∂x ∂y
1.哈密顿算子 场（原场）与 ∇ 算子相互作用的结果，产生一 个新的场（算子场）。 原场 数量场 u 算子场
'
散度运算公式 （1）
v v div (cA) = cdiv A v v ∇ • (cA) = c∇ • A
（
c
为常数）
（2）
（2）
v v v v div ( A ± B ) = divA ± divB v v v v ∇ • ( A ± B) = ∇ • A ± ∇ • B
（5）
v v v （3） divuA = udivA + gradu • A（ u 为数性函数） v v v ∇ • uA = u∇ • A + ∇u • A （10）
3.算子运算
∂ v ∂ v ∂ v 算子 ∇ = i + j + k实际上是三个数性微分算 ∂z ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ ， ， 子 的线性组合；数性微分算子服从乘积 ∂x ∂y ∂z
的微分法则。 乘积的微分法则：当算子作用于两个函数的乘积 时，每次只对其中的一个因子作用，而把另外一 个因子看作常数。
= gradu
梯度是一个矢量。
1.哈密顿算子
v 2）与矢量场 A ( x , y , z ) 的数性作用—散度算子
r v v v ∂ v ∂ v ∂ v ∇•A=( i + j+ k ) • ( Ax i + A y j + Az k ) ∂z ∂x ∂y
∂Ax ∂A y ∂Az + = + ∂y ∂z ∂x
6）
v div ( rot A ) = 0 v ∇ • (∇ × A ) = 0
（17）
2.基本运算公式的算子表示
∇
算子如果作用两个场，则它对两个场分别起
作用。 ∇ 算子与两个数量场 u, v 的作用。 （9） v ∇ 算子与一个数量场 u 和一个矢量场 A 的作用。
v v v ∇ • uA = u∇ • A + ∇ u • A v v v ∇ × uA = u∇ × A + ∇ u × A v v v c 为常矢。 ∇ • uc = ∇ u • c v v v c 为常矢。 ∇ × uc = ∇ u × c
v = div A
散度是一个标量。
1.哈密顿算子
v 3）与矢量场 A ( x , y , z ) 的矢性作用—旋度算子
r ∂ v ∂ ∇× A = ( i + ∂x ∂y v v i j ∂ ∂ = ∂x ∂y Ax A y v v ∂ v v v j+ k ) × ( Ax i + A y j + Az k ) ∂z v k ∂ ∂z Az
∂f 斯算子 Δ f ，偏微分算子 等。 ∂x
比如微分算子 Df ，不定积分算子 ∫ f ，拉普拉
算子与函数的作用与算子的定义有关。算子的 作用在于简化运算。
1.哈密顿算子 哈密顿（Hamilton）引进一个矢性微分算子，
∂ v ∂ v ∂ v ∇ ≡ i + j+ k ∂x ∂z ∂y
称为哈密顿算子或 ∇ 算子。
旋度运算公式
v v v v v v 4） div ( A × B ) = B • rot A − A • rot B v v v v v v ∇ • ( A × B) = B • ∇ × A − A • ∇ × B
（13）
5） rot ( gradu ) = 0
∇ × (∇ u ) = 0
（16）
（12）
v v v v v v ∇ • ( A × B ) = B • (∇ × A ) − A • (∇ × B )
（13）
r v v v v v v v v v ∇ × ( A × B ) = ( B • ∇ ) A − ( A • ∇ ) B − B (∇ • A ) + A (∇ • B )
既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。 数量场 u
v 矢量场 B
v ∂u ∂u ∂u ( A • ∇ )u = Ax + Ay + Az ∂z ∂x ∂y v v v v v ∂B ∂B ∂B ( A • ∇ ) B = Ax + Az + Ay ∂x ∂y ∂z
1.哈密顿算子
∇ 算子的显著特点在于它的双重性，既是一个
∇ u 对应矢量场
v 矢量场 A
∇ 2 u 对应数量场 v ∇ • A 对应数量场 v ∇ × A 对应矢量场
v ∇ A 对应矢量场
2
1.哈密顿算子 数性微分算子
r v v v ∂ v ∂ v ∂ v A • ∇ = ( Ax i + A y j + Az k ) • ( i + j+ k) ∂z ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ = Ax + Ay + Az ∂z ∂x ∂y
2.基本运算公式的算子表示 基本运算公式的算子表示，即是用哈密顿算子 表示梯度、散度和旋度的基本运算公式。 哈密顿算子 ∇ 是描述场与空间相互作用的统一 工具。 哈密顿算子 ∇ 和梯度、散度和旋度共同构成物 理场描述的完备体系。 P85的基本公式中，（1）—（8），及（15）为 基本公式，其余公式为导出公式。
∇ ( uv ) = ( ∇ u ) v + u ( ∇ v )
（10） （11） （7） （8）
2.基本运算公式的算子表示
v v ∇ 算子与矢量场 A 和 B 的作用。 r v v v v v v v v v ∇ ( A • B ) = A × (∇ × B ) + ( A • ∇ ) B + B × (∇ × A ) + ( B • ∇ ) A
《矢量分析与场论》
第13讲 哈密顿算子（1）
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 哈密顿算子 2. 基本运算公式的算子表示 3. 算子运算 教材：第3章
1.哈密顿算子 算子：一种对函数的运算符号。 一个算子作用于一个函数以后可以按照一定的 规则生成一个新的函数。
v ∇×r = 0
ro f ' (r ) v ' r = f (r )r ∇ f (r ) = r v ∇ × [ f (r )r ] = 0