1．直线型经验公式
对于柔度(λs≤λ<λp)的中柔 度杆（中长压杆），临界应力 与λ的关系采用直线公式：
cr a b 13 8
式(13-8)中的系数a,b可查书中表 13-1。 λ的最低界限：
s
a
s
b
(塑性材料)
b
a
b
b
(脆性材料)
---------(13-9)
图13-3
2．抛物线型经验公式
式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时， yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为
y c1 sinkx (d )
当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得 c1 sinkl 0 (e)
要满足式(e)，必然是c1或sinkl等于零，若c1=0，则压杆 上各点的位移都为零，这显然与压杆在微弯状态下保持平衡 的前提不符，故必须是sinkl=0。要满足这一条件的kl值为：
kl 0, ,2 ,L ,n （n为正整数）
由k P n 可得：
EI l
P
n2 2 EI
l2
(
f
)
使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应
该是式(f) 中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临
界力Pcr，即
Pcr
2 EI
l2
(13 1)
式(13-1)习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个 方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的 抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压 杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
2
图13-4 对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式：
cr a' b'2 13 10
抛物线与欧拉公式的交点C，相应的柔度λc为
c
E 13 11
0.57 s
3．临界应力总图及临界应力的计算
2
图13-3
图13-4
图13-3和图13-4表示了压杆的临界应力与压杆的柔度λ 间的关系，称为塑性材料压杆的临界应力总图。它表示了 临界应力随柔度λ变化的规律。从图中可看出，临界应力随 柔度的增大而减小。
cr
2E 2
p
即 2E E (13 7)
p
p
图13-2表示了欧拉临界应力与λ的关系。欧拉临界应力为 一双曲线，只有当λ≥λp时，才能满足的条件，欧拉公式才有 效；当λ≤λp时，该曲线就无效了。
图13-2
三、临界应力总图
当λ问题。其临界应力一般运用由实验所得的经验公式 来计算。常用的经验公式有二种，一种是直线型经验公式， 另一种是抛物线型经验公式。
EI
d2y dx 2
M
x
Py
即：
d2y dx2
Py EI
(a)
若令 k 2 P ，则式(a)可写作
EI
d2y dx2
k
2
y
0
(b)
此微分方程的通解为：
y c1 sinkx c2 coskx (c)
y c1 sinkx c2 coskx (c)
Pcr
2 EI
l 2
(13 5)
式(13-5)中的μ称为长度系数。不同的杆端约束的长度系数如下： a．两端铰支：μ=1
b．一端固定，一端自由：μ=2 c．两端固定：μ=0.5 d．一端固定，一端铰支：μ=0.7
Pcr
2 EI
l 2
(13 5)
当压杆杆端的约束情况在最大和最小抗弯刚度平面内
材料力学
压杆稳定
一、细长压杆的临界力
1．两端铰支细长压杆的临界力（欧拉公式） 为了确定压杆的临界力，先研究压杆在微弯情况下的挠
曲线（图13-1a）。压杆在任意截面上的弯矩为M(x)= -Py （图13-1b），只要杆内应力不超过材料的比例极限 p，就 可以利用挠曲线的近似微分方程：
图13-1
挠曲线近似微分方程：
2
图13-3
图13-4
a．对于柔度较小的短粗杆，可取作为临界应力，即以强度计 算为主。
b．对于λ较大的细长杆，稳定问题是主要矛盾，应用欧拉 公式计算临界应力。
c．对于λs≤λ<λp的中长杆，则应为应力超过比例极限后 的稳定问题，一般用经验公式计算临界应力。
临界力计算的步骤
例1．截面为120×200mm 的矩形木柱，材料的弹性 模量E=1×104Mpa,。其支 承情况为：在xoz平面失 稳（即绕y轴失稳）时柱 的两端可视为固定端（例 1图a）；在xoy平面失稳 （即绕z轴失稳）时，柱 的两端可视为铰支端（例 1图b）。试求该木柱的临 界力。
在临界力作用下，压杆横截面上的平均压应力称作临界
应力，以 cr 表示，由欧拉公式(13-5)可得：
cr
Pcr A
2 EI
l 2 A
引入惯性半径 i I ，则有 A
cr
2E
l 2
i2
2E l 2
2E 2
(13 6)
i
cr
2E
l 2
i2
2E l 2
2E 2
(13 6)
i
式(13-6)中 l 称为压杆的柔度（或长细比）。它
i
反映了杆端的约束情况(μ)、杆件的尺寸及截面的形状等因素 对临界应力的综合影响。
式(13-6)是欧拉公式的另一种形式，只要当临界应力 cr 不超过材料的比例极限 p 时，用欧拉公式求得的临界力才是 正确的，其条件为：
2．一端固定，一端自由细长压杆的临界力
Pcr
2 EI
2l 2
(13 2)
3．两端固定细长压杆的临界力
Pcr
2 EI
0.5l 2
(13
3)
4．一端固定，一端铰支细长压杆的临界力
Pcr
2 EI
0.7l 2
(13 4)
5．临界力的统一表达式
完全相同时，则式(13-5)中的I应取压杆横截面的最小形心 主惯性矩Imin。如果压杆在最大和最小抗弯刚度平面内的约 束情况不相同时，则应分别计算在两个形心主惯性平面内 失稳时的临界力，然后再确定该压杆的临界力。
二、临界力（欧拉公式）的适用范围
欧拉公式是以压杆的挠曲线的近似微分方程式为依据导
出的，这个微分方程只是在材料服从虎克定律的条件下才成 立。因此，只有在压杆内的应力超过材料的比例极限 p时， 才能用欧拉公式来计算临界力。