2 EImin 中的 Imin 如何确定 ？ 欧拉临界力公式 Fcr 2 ( l )
定性确定 Imin
例：图示细长圆截面连杆，长度 l 800 m m ，直径 d 20 mm ,材 料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr . 解：1、细长压杆的临界载荷
Fcr
2 3 2E 200 10 p p 200
99.35 100
1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。 2E 2 EI 2 p ( p ) 临界压力：Fcr 2 临界压应力： cr ( l ) 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。
cr
压杆容易失稳
二、欧拉公式的适用范围
p , cr p
2E p
欧拉公式的适用范围:
2E cr 2 p .
（细长压杆临界柔度）
2E p p
p，称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢， E 200GPa, p 200MPa.
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
问题的提出
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯 曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不 够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态 所致。这种现象称为失稳。
(a)
2
y
FN
y Fcr
d2y 2 k y0 2 dx
二阶常系数线性奇次微分方程
d y 2 k y 0 2 dx
y
2
Fcr (k ) EI
2
（二阶常系数线性齐次微分方程）
微分方程的解: y =Asinkx + Bcoskx
FN
边界条件: y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 0 0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0 B=0 sinkl • A =0
§11-2
细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡
y FN
y Fcr
考察微弯状态下局部压杆的平衡:
M (x) = Fcr y (x) d2y M (x) = –EI d x2 d2y EI 2 Fcr y 0 dx
Fcr 令 k EI
s
60 0 0
100 55 50 59
直线公式适合合 金钢、铝合金、铸 铁与松木等中柔度 压杆。
稳定性 平衡物体在其原来外界干扰下 的变化或破坏过程。
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
受压直杆平衡的三种形式
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
电子式万能试 验机上的压杆稳定 实验
工程项目的 压杆稳定试验
(b)
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
倒塌后成为一片废墟
1925年苏联莫兹尔 桥在试车时因桥梁 桁架压杆失稳导致破 坏时的情景。
这是1966年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致 支臂柱失稳的实例。
1983年10月4日，高 54.2m、长17.25m、总重 565.4KN大型脚手架局部 失稳坍塌，5人死亡、7人 受伤 。
s p ( p s ) cr a b ——直线型经验公式
a , b 是与材料性
能有关的常数。
a s s b
p
材料 硅钢
铬钼钢 硬铝 铸铁 松木
a(MPa) b(MPa) 577 3.74
980 372 331.9 39.2 5.29 2.14 1.453 0.199
E 2 2E 2E 2 EI Fcr 2 i 2 2 l ( l ) A ( l ) A ( )2 i
2
一、临界应力与柔度
cr

l
i
I A
——临界应力的欧拉公式
——压杆的柔度（长细比）
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
i
——惯性半径
2 I z A iz , 2 I y A iy .
B A
l
Fcr
2 EI
l
2

2E d 4
l
2

64
y

3 200109 0.024
0.82 64
z
24.2 (kN )
2、从强度分析 s 235MPa
0.022 235106 73.8 (kN ) Fs A s 4
§12-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
(b)
Fcr
2 EImin
l2
= 0 . 1 KN
(a)
(b)
二、支承对压杆临界载荷的影响
临界载荷欧拉公式的一般形式:
EI Fcr 2 ( l )
2
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支
: : : :

＝ ＝ ＝ ＝
2.0 0.7 0.5 1.0
若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符 因此可得：
y
Fcr
y =Asinkx + Bcoskx
B=0 sinkl • A =0
y FN
sinkl = 0
kl n （n = 0、1、2、3……） n k l
由 k2 Fcr 可得 EI
2 2
y Fcr
n EI Fcr 2 l
临界载荷: 屈曲位移函数 :
n EI Fcr 2 l nx y ( x) A sin l
2 2
临界力 F c r 是微弯下的最小压力， 故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的 轴弯曲。
最小临界载荷:
Fcr
2 EImin
l
2
——两端铰支细长压杆的临界载荷 的欧拉公式
(a)
F j x = A [ b] = 6 KN
材 料 力 学
11.1、压杆稳定概念
11.2、铰支细长压杆的临界力
11.3、其它支撑情况下细长压杆的临界力
11.4、临界应力 欧拉公式的适用范围
§11-1
压杆的稳定概念
拉压杆的强度条件为：
FN = —— [ ] A
(a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为3cm，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。