第一章 统计量与抽样分布 第三节 抽样分布
1. 抽样分布 2. 样本均值的抽样分布 3、样本方差的抽样分布 4、样本均值与样本标准差之比的抽 样分布
1.3.1抽样分布
1、定义：统计量的概率分布称为抽样分布。 2、抽样分布的类型： （1）精确（抽样）分布：即当总体X的分布已知时， 如果对任一自然数n都能导出统计量T（ x1, x2 ,, xn ） 的分布显示表达式。（这是在小样本问题中使用， 大多是在正态总体下得到。） （2）渐近（抽样）分布：即在大多数场合，精确 抽样分布不容易导出，或者导出的精确分布过于复 杂而难以应用，这时人们借助于极限工具，寻求在 样本量n无限大时统计量T（ x1, x2 ,, xn ）的极限分 布。（这是在大样本问题中使用）

X n 1
i 1
i
X
1.3、3样本均值与样本标准差之比的 抽样分布：
0 1, Pt n 则 称为n个自由度的t分布 水平上侧分位数。记为 t n
4、t分布的上侧分位数 设随机变量 t(n) 服从自由度为n的 t分布，
1.3、3样本均值与样本标准差之比的 抽样分布：
0-1分布
二项分布 泊松分布
p np
pq npq
均匀分布 正态分布
ab 2

1

(b a ) 2 12
2
1 2
指数分布

1.3、1样本均值的抽样分布
结论：有了渐近分布就可作出一些统计推断。 例如：在总体为均匀分布 的场合，若 U 1,5 ，试问样本 要以0.99的概率保证 量n至少取多少？ x 3 0.5 同样 ，类似于上述的问题可对另外两个分布 提出。
例题：
设
x1 , x2 ,, x17
2 N , 是来自正态总体

的一个样本， x 与s

2
分别是
P x ks 0.95 其样本均值与方差，求k,使得
。
小 结
• • • • 1. 抽样分布 2. 样本均值的抽样分布 3、样本方差的抽样分布 4、样本均值与样本标准差之比的抽样分布
3 2 1 0
1
2
3
4
3 2 1 0
1.3、1样本均值的抽样分布
结论：上述实践与理论都说明：无论总体分 布是什么，其样本均值 x 的抽样分布可用正 , 态分布 N 近似，样本量n越大，此种近 n 似越好。
2
1.3、1样本均值的抽样分布例题：
2、（1）若总体分布为均匀分布 U 1,5 ，求其样本均 值的渐近分布。
（2）若总体的概率密度函数为：
3 x / 4 p x x 3 / 4 0
求其样本均值的渐近分布。
,1 x 3 ,3 x 5 ， 其他
（3）若总体分布为指数分布E（1），样本均值的渐近 分布。
常见分布及其期望和方差列表
分布名称 数学期望E（X） 方差D（X）
分布，Y服从自由度为 n2 2 分布，且X、Y相互独立，则X+Y服从自由度为
n1 的
2
1.3、2样本方差的抽样分布：

2 分布
7、

2
分布的数字特征
2
水平上侧分位数。记为 2 n 。
2
E n n, D n 2n
1.3、3样本均值与样本标准差之比的抽 样分布：
设 X服从自由度为 的
n1 n2 的 2 分布。 2 5、 的自由度 2 分布可以自由取值的随机变量的个数。 2 分布的上侧分位数 6、 2 2 n 设随机变量 服从自由度为n的 分布， 2 0 1, P n ，则 称为n个自由度的
2
服从自由度为n的t分布，记为 t ~ t n 3、单正态总体
2
X Y /n
, ），X 1 , X 2 ,, X n 为样本，样 定理：设总体X~N （ n 2 1 n 本均值 1 ， X X 样本方差 2
n
i
i
s
则有
n( X ) t ~ t n 1。 s
1.3.1抽样分布
（3）近似（抽样）分布：即在精确分布与渐近分 布都难以导出，或导出的分布难以使用等场合，人 们用各种方法去获得T( x1, x2 ,, xn )的近似分布，使 用时注意获得近似分布的条件。
1.3、1样本均值的抽样分布
x1, x2 ,, xn 是来自某个总体的样本， 1、定理：设 x 为其样 _ n 本 均值。 x 1 xi
1、t 分布的图像与密度函数
n 1 n 1 2 2 2 t pt; n 1 , t n n n 2
1.3、3样本均值与样本标准差之比的 抽样分布：
2、t分布的典型模式： 设 X ~ N (0,1) ,Y~ n ,且X与Y独立，则 t
2

2
分布，记为
3、单正态总体
定理：设X~N（ , 2 ）， X 1 , X 2 ,, X n为样本，样本方 2 n 差 2 2 1 ，则有
s
x n 1
i 1
i
x
n 1s

2
~ n 1。
2
1.3、2样本方差的抽样分布：
4、

2
分布的可加性：
1.3、2样本方差的抽样分布：
1、 2 分布的图 像与密度函数

1.3、2样本方差的抽样分布：
2、

2
2
分布的典型模式：
设 X 1 , X 2 ,, X n 独立同分布，且
X i ~ N (0,1),i 1,2,n
Hale Waihona Puke 则 X12 X 22 X n 2 服从自由度为n的
~ n


n
。
1.3、1样本均值的抽样分布例题：
1、设一个总体，含有四个元素（个体），即总体 单位数N=4,四个个体分别为 x1 1, x2 2, x3 3, x4 4 ， 总体的分布如下：
3 2 1 0
1
2
3
4
（1）求总体的样本均值与样本方差；（2）现从总 体中有放回随机抽取两个，求各样本的均值及样本 均值的抽样分布。

（1）若总体分布N( , )，则
2
n
i 1
x

的精确分布为
2
2 N , n

；
（2）若总体分布未知或不是正态分布，但 ，常记为 存在，则n较大时 x 的渐近分布为 N ,
Ex ,Varx 2
x

͠
2 N , n