2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（五）一、选择题 1．（3分）不等式10x x->成立的充分不必要条件是( ) A ．1x >B ．1x <-或01x << C ．1x >-D ．10x -<<或1x >2．（3分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A ．3B ．3 C ．3 D ．3 3．（3分）数列{}n a 满足11a =，对*n N ∀∈，都有11n n a a a n +=++，则122019111(a a a ++⋯⋯+= ) A ．20182019B ．20192020C ．40362019D ．201910104．（3分）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是( ) A ．(0,)6πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ5．（3分）如图，圆O 为直角三角形ABC 内切圆，已知3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线交圆O 于两点P ，Q ，则BP CQ u u u r u u u rg的取值范围是( )A ．[1，1]B ．[7-，7]C ．[1-，7]D ．[7-，1]二、填空题6．（3分）设a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C =，则222a b c ac +-的取值范围为 ．7．（3分）若0a >，0b >，且11121a b b +=++，则2a b +的最小值为 ． 8．（3分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0x ∈，2]时，()22x f x =-，若函数()()log (1)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间(1-，9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b ．()I 求椭圆的离心率；()II 设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． ()i 求直线FP 的斜率； ()ii 求椭圆的方程．10．已知函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈，且在[0,]2π上的最大值为32π-，（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（五）参考答案与试题解析一、选择题 1．（3分）不等式10x x->成立的充分不必要条件是( ) A ．1x >B ．1x <-或01x <<C ．1x >-D ．10x -<<或1x >【解答】解：不等式10x x->，解得1x >或0x < 11x x >⇒>或0x <，符合题意，故正确；1x <-或011x x <<⇒>或0x <是假命题，故不正确； 11x x >-⇒>或0x <是假命题，故不正确；10x -<<或11x x >⇒>或0x <是假命题，故不正确；故选：A ．2．（3分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 【解答】解：根据已知得三棱锥A BCD -的外接球的半径1r =，90ADB ACB ∠=∠=︒Q ，AB ∴为外接球直径，则2AB =，且3AD ，1BD =，2AC BC ==当点C 到平面ABD 距离最大时，三棱锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =， ∴1113311332A BCD C ABD ABD V V S d --∆===⨯⨯g 故选：B ．3．（3分）数列{}n a 满足11a =，对*n N ∀∈，都有11n n a a a n +=++，则122019111(a a a ++⋯⋯+= ) A ．20182019B ．20192020C ．40362019D ．20191010【解答】解：由题意，可知11n n a a n +=++， 即11n n a a n +-=+． 212a a ∴-=， 323a a -=，g g g1n n a a n --=．各项相加，可得 123n a a n -=++⋯+，1(1)231232n n n a a n n +∴=+++⋯+=+++⋯+=，*n N ∈， 12112()(1)1n a n n n n ==-++， 则122019111a a a ++⋯+111112(1)2()2()22320192020=-+-+⋯+-111112(1)22320192020=-+-+⋯+- 12(1)2020=- 20191010=， 故选：D ．4．（3分）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是( ) A ．(0,)6πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ【解答】解：Q 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， 2p c ∴=A Q 是它们的一个公共点，且AF 垂直x 轴，设A 点的纵坐标大于0， ||AF p ∴=，(2pA ∴，)p ， Q 点A 在双曲线上，∴222214p p a b -=， 2p c =Q ，222b c a =-，∴2222241c c a c a-=-， 化简得：422460c c a a -+=， 42610e e ∴-+=， 21e >Q ，23e ∴=+21()3ba ∴+=+2()23ba∴=+ l ∴的倾斜角所在的区间可能是(3π，)2π，故选：D ．5．（3分）如图，圆O 为直角三角形ABC 内切圆，已知3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线交圆O 于两点P ，Q ，则BP CQ u u u r u u u rg的取值范围是( )A ．[1，1]B ．[7-，7]C ．[1-，7]D ．[7-，1]【解答】解：以O 为坐标原点，与直线BC 平行的直线为x 轴， 与直线AC 平行的直线为y 轴，建立直角坐标系， 设ABC ∆的内切圆的半径为r ，运用面积相等可得，1134(345)22r ⨯⨯=++，解得1r =，则(3,1)B --，(1,1)C -， 即有圆22:1O x y +=，当直线PQ 的斜率不存在时，即有(0,1)P ，(0,1)Q -， (3,3)BP =u u u r ，(1,0)CQ =-u u u r ，即有3BP CQ =-u u u r u u u rg ．当直线PQ 的斜率存在时，设直线:l y kx =，(0)k <， 代入圆的方程可得2(1P k+，21k +，(Q21k+2)1k+，即有2(31BP k=+u u u r，211k+，(CQ =211k -+21)1k++，则有22222(3)(1)(1)(1)311111BP CQ k k k k k =+-+=-+++++u u u r u u u r g 由211k +…可得2041k +，则有23311k-<-++．同理当0k >时，求得P (21k +21k +，2(1Q k +，21k+，则有231BP CQ k =-+u u u r u u u r g 则有27331k --<-+…，综上可得，BP CQ u u u r u u u rg的取值范围是[7-，1]． 故答案为：[7-，1]． 故选：D ．二、填空题6．（3分）设a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 233a b c-=，则222a b c ac +-的取值范围为 (0，23] ．【解答】233a b c-=， 由正弦定理可得，2sin cos 3sin cos 3sin cos A C B C C B =， 即2sin cos 3cos 3cos 3)3A C B C C B B C A =+，所以3cos C =6C π=， 所以506B π<<，所以sin (0B ∈，1]，则2222cos 33sin 23sin (0,23]2a b c ab C b B B ac ac +-===∈．故答案为：(0，3] 7．（3分）若0a >，0b >，且11121a b b +=++，则2a b +的最小值为 132 ． 【解答】解：0a >Q ，0b >，且11121a b b +=++， (2)3(1)323(1)113123(1)33123(1)12()()23222221222(1)2(2)2222(1)2(2)2a b b a b b a b b a b b a b a b b b a b b a b +++++++++∴+=-=++-=+++-+++++++g …， 当且仅当23(1)2(1)2(2)a b b b a b ++=++，0a >，0b >，且11121a b b +=++，即3b =，132a =+取等号，∴则2a b +的最小值为132故答案为：132+8．（3分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0x ∈，2]时，()22x f x =-，若函数()()log (1)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间(1-，9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 1(9，1)(35⋃，7) ．【解答】解：()f x Q 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x -=+， ()f x ∴的周期为4，作函数()f x 与log (1)a y x =+在(1-，9]上的图象如下，，当1a >时，(21)2(61)2a alog log +<⎧⎨+>⎩，37a <<；当01a <<时，(41)1(81)1a alog log +>-⎧⎨+<-⎩，解得，1195a <<；故答案为：1(9，1)(35⋃7)．三、解答题9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b ．()I 求椭圆的离心率；()II 设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． ()i 求直线FP 的斜率； ()ii 求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=．又因为01e <<，解得12e =．所以，椭圆的离心率为12； （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m． 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++．由已知3||2c FQ =，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34． ()ii 解：由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=．由()i 得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430143x y c x y cc -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-（舍去），或x c =． 因此可得点3(,)2c P c，进而可得5||2cFP ==， 所以53||||||22c cPQ FP FQ c =-=-=．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c cQN FQ QFN =∠=⨯=g ， 所以FQN ∆的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM ∆的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．10．已知函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈，且在[0,]2π上的最大值为32π-，（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．【解答】解：()I 由已知得()(sin cos )f x a x x x '=+，对于任意的(0,)2x π∈，有sin cos 0x x x +>，当0a =时，3()2f x =-，不合题意；当0a <时，(0,)2x π∈，()0f x '<，从而()f x 在(0,)2π单调递减，又函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈在[0,]2π上图象是连续不断的，故函数在[0,]2π上上的最大值为3(0)2f =-，不合题意；当0a >时，(0,)2x π∈，()0f x '>，从而()f x 在(0,)2π单调递增，又函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈在[0,]2π上图象是连续不断的，故函数在[0,]2π上上的最大值为33()2222f a πππ-=-=，解得1a =，综上所述，得3()sin 2f x x x =-()II 函数()f x 在(0,)π内有且仅有两个零点．证明如下：由()I 知，3()sin 2f x x x =-，从而有3(0)02f =-<，3()022f ππ-=>， 又函数在[0,]2π上图象是连续不断的，所以函数()f x 在(0,)2π内至少存在一个零点，又由()I 知()f x 在(0,)2π单调递增，故函数()f x 在(0,)2π内仅有一个零点．当[2x π∈，]π时，令()()sin cos g x f x x x x ='=+，由()102g π=>，()0g ππ=-<，且()g x 在[2π，]π上的图象是连续不断的，故存在(2m π∈，)π，使得()0g m =． 由()2cos sin g x x x x '=-，知(2x π∈，)π时，有()0g x '<，从而()g x 在[2π，]π上单调递减．当(2x π∈，)m ，()()0g x g m >=，即()0f x '>，从而()f x 在(2π，)m 内单调递增故当(2x π∈，)m 时，3()()022f x f ππ->=>，从而()x 在(2π，)m 内无零点；第11页（共11页）当(,)x m π∈时，有()()0g x g m <=，即()0f x '<，从而()f x 在(2π，)m 内单调递减． 又()0f m >，()0f π<且()f x 在[m ，]π上的图象是连续不断的，从而()f x 在[m ，]π内有且仅有一个零点．综上所述，函数()f x 在(0,)π内有且仅有两个零点．。