课时考点14 圆锥曲线中的最值及范围问题高考透析高考大纲：椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系. 解析几何与代数方法的综合. 新题型分类例析热点题型1：重要不等式求最值 （05浙江•理17）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则2111,a MA a A F a c c =-=-()2222224a a a c c a abc ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得2,1a b c ∴=== 221.43x y+=故椭圆方程为(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >， 当00y >时，120F PF ∠=；当00y ≠时，22102F PF PF M π<∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m =+，直线2PF 的斜率021y k m =-， 021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠==≤=+-+0||y =时，12F PF ∠最大，(,,||1Q m m ∴>[变式新题型1]：已知椭圆C 的方程是)0(12222>>=+b a b y a x ，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l ，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l 1l ⊥，又l 与2l 的交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B （如图）（1）当1l 与2l 的夹角为︒60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程及离心率， （2）若AP FA λ=，求λ的最大值. [启思]热点题型2：利用函数求最值 （05上海•理19）点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右焦点，点F 是椭圆的右焦点点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥（1）求P 点的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值 解：（1）由已知可得点A (－6,0),F (0,4)设点P (x ,y ),则AP ={x +6,y },FP ={x －4,y },由已知可得 22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩则2x 2+9x －18=0,解得x =23或x =－6. 由于y >0,只能x=23,于是y =235.∴点P 的坐标是(23,235) (2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0.设点M (m ,0),则M 到直线AP 的距离是26+m .于是26+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2.椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有 d 2=(x －2)2+y 2=x －4x 2+4+20－95x 2=94(x －29)2+15, 由于－6≤m ≤6, ∴当x =29时,d 取得最小值15. [变式新题型2]如图，B （-c ，0），C （c ，0），AH BC ⊥，垂足为H ，且BH HC →=→3。

（I ）若AB AC →⋅→=0，求以B 、C 为焦点并且经过点A 的椭圆的离心率；（II ）D 分有向线段AB →的比为λ，A 、D 同在以B 、C 为焦点的椭圆上，当-≤≤-572λ时，求椭圆的离心率e 的取值范围.解：（I ）因为BH HC →=→3，所以H （c2，0）……1分又因为AH BC ⊥，设A cy (,)2由AB AC →⋅→=0，得(,)(,)---⋅--=c c y c cy 22000即y c 02234=……3分所以||()||()AB c c c AC c c c =+==+=323432342222，椭圆长轴231a AB AC c =+=+||||()……4分 所以，e ca==-31……5分O B H CAxyD（II ）设D （x y 11，），因为D 分有向线段AB →的比为λ 所以x cc y y 110211=-+=+λλλ，……7分 设椭圆方程为x a y b22221+=()a b >>0，将A 、D 点坐标代入椭圆方程e y b 202241+=……① e y b 22202224121111⋅-++⋅+=()()()λλλ……②……8分 由①得y b e 022214=-，代入②，整理的e 221311=+-=-+λλλ……10分因为-≤≤-572λ，所以e 21312∈[]，……12分 又01<<e ，所以3322≤≤e ……13分热点题型3：利用导数求最值（05广东·20）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上. （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.解(I) （1）当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程21=y （2）当0≠k 时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G(a,1)所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有如图5(A)C D BxO yk a k ak k OG -=⇒-=-=⋅11,1故G 点坐标为1,(k G -从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为)21,2(k M -折痕所在的直线方程)2(21kx k y +=-，即222k k kx y ++= 由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，21=y ；0≠k 时222k k kx y ++= （II ）(1)当0≠k 时，折痕的长为2;(1) 当0≠k 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21(),21,0(22k k P k N +-+ 23222224)1()21()21(kk k k k PN y +=+-++== 432222/168)1(42)1(3kkk k k k y ⋅+-⋅⋅+= 令0/=y 解得22-=k ∴21627max <=PN 所以折痕的长度的最大值2热点题型4：利用判别式求参数范围（05全国Ⅲ·21）设()11,y x A .()22,y x B 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线（1）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围注：本小题主要考察直线与抛物线等基础知识，考察逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力解法一：（1）⇔=⇔∈FB FA l F A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等 因为：抛物线的准线是x 轴的平行线，0≥i y ()2,1=i ，依题意1y 、2y 不同时为0 所以，上述条件等价于()()02121222121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y ；注意到：21x x ≠，所以上述条件等价于21=+x x 即：当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F（2）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=21，所以1x 、2x 满足方程02122=-+m x x ，即4121-=+x x A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式0841>+=∆m ，也就是：32>m 设AB 的中点H 的坐标为为()00,y x ，则有： 812210-=+=x x x ，m m x y +=+-=161200 由l H ∈得：b m +-=+41161，于是：32321165165=->+=m b 即：l 在y 轴上截距的取值范围是⎝⎛+∞,329 .解法二：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22=∴=p y x ， ∴焦点为1(0,)8F …………………………………………1分 （1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x ………………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k bk y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩……5分 2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………8分 所以当且仅当12x x +=0时，直线l 经过抛物线的焦点F ……………9分 (II)解：设直线l 的方程为：y=2x+b,故有过AB 的直线的方程为m x 21y +-=，代入抛物线方程有2x 2+m x 21-=0, 得x 1+x 2=-41.由A.B 是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式0m 841>+=∆，即321m -> 由直线AB 的中点为)2,2(2121y y x x ++=)m 161,81()m x 21,81(0+-=+--， 则,b 41m 161+-=+ 于是.329321165m 165b =->+= 即得l 在y 轴上的截距的取值范围是,329(+∞ [变式新题型3]设圆锥曲线C 的焦点是F (1，0)，相应准线是y 轴，以过焦点F 并与x 轴垂直的弦为22. （Ⅰ）求圆锥曲线C 的方程；(Ⅱ)若圆锥曲线C 上有且只有两个不同的点关于过F 点的直线l 对称，求直线l 的斜率的取值范围. [启思]。