由y＝yx11x， y＝x－2，
解得点M的横坐标为xM＝
x12－x1y1＝
2x1 x1－x412
＝4－8 x1. 同理，点N的横坐标xN＝4－8 x2. 所以|MN|＝ 2|xM－xN|＝ 2|4－8 x1－4－8 x2|
＝8
2|x1x2－4x1x－1＋x2x2＋16|＝8
2 k2＋1 |4k－3| .
最小值等于直线x＋y＋5＝0与x＋y＋
1 2
＝0间的距离，即等于Leabharlann |5－12|＝9 24
2 .
【答案】
92 4
例2 (2013·浙江文)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点 为F(0,1)．
(1)求抛物线C的方程； (2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO 分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
【解析】 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝ 2py(p>0)，则p2＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1. 由yx＝2＝k4xy＋，1， 消去y，整理，得x2－4kx－4＝0. 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 从而|x1－x2|＝4 k2＋1.
36，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C的方程； (2)设存在斜率的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原
点O到直线l的距离为 23，求△AOB面积的最大值．
【解析】 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意ac＝ 36， a＝ 3，
∴b＝1，∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)①当AB⊥x轴时，|AB|＝ 3. 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知 1|m＋| k2＝ 23，得m2＝34(k2＋1)．
圆锥曲线中的最值与范围
题型一 最值问题 例1 已知P为抛物线y＝14x2上的动点，点P在x轴上的射 影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是 ________．
【解析】
如图，抛物线y＝
1 4
x2，即x2＝4y的焦点为
F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的投影为P′，根
＝3＋9k2＋12k12＋6(k≠0)
≤3＋2×132＋6＝4.
当且仅当9k2＝k12，即k＝± 33时等号成立． 当k＝0时，|AB|＝ 3，综上所述|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值
S＝12×|AB|max×
23＝
3 2.
题型二 范围问题
例3 (2015·福建福州质检)如图所示，直线y＝m与抛物线 y2＝4x交于点A，与圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分交于点B，F为 抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是________．
令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋4 3.
当t>0时，|MN|＝2 2· 2t25＋6t ＋1>2 2；
当t<0时，|MN|＝2 2· 5t ＋352＋1265≥85 2. 综上所述，当t＝－ 235 ，即k＝－ 43 时，|MN|的最小值是 85
2.
对点训练 椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
∴13<1－e<12，解得12<e<23.
【答案】 (12，23)
例4 已知点G是△ABC的重心，A(0，－1)，B(0,1)，在 x轴上有一点M，满足|M→A|＝|M→C|，G→M＝λA→B(λ∈R)．
(1)求点C的轨迹方程； (2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q， 且满足|A→P|＝|A→Q|，试求k的取值范围．
【解析】 由抛物线和圆的对称性知，当A，B重合时， 三角形ABF的周长达到最小值的极限，此时，值为4；当A为 抛物线的顶点，B在x轴上时，三角形ABF的周长达到最大值 的极限，此时，值为6.故△ABF的周长的取值范围是(4,6)．
【答案】 (4,6)
点评：求范围时注意椭圆、双曲线、抛物线的有界性， 还要注意判别式对范围的影响．
把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx ＋3m2－3＝0.
∴x1＋x2＝3－k26＋km1，x1x2＝33mk22＋－11. ∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 ＝(1＋k2)33k62k＋2m122－123km2＋2－11 ＝12k2＋13k23＋k21＋21－m2＝3k2＋3k12＋91k22＋1 ＝3＋9k4＋126kk22＋1
对点训练 过椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左顶点A
且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射
影恰好为右焦点F，若
1 3
<k<
1 2
，则椭圆离心率的取值范围为
________．
【解析】 由题意知：B(c，ba2)， b2
∴k＝c＋a a＝a－a c＝1－e.又13<k<12，
【解析】 (1)设C(x，y)，则G(3x，3y)． 因为G→M＝λA→B(λ∈R)，所以GM∥AB. 又M是x轴上一点，则M(3x，0)． 又|M→A|＝|M→C|， 所以 3x2＋0＋12＝ 3x－x2＋y2， 整理得x32＋y2＝1(x≠0)，此即为点C的轨迹方程．
据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋
|PA|≥|AF|＝ 22＋－12 ＝ 5 .所以(|PA|＋|PM|)min＝(|PA|＋
|PP′|－1)min＝ 5－1.
【答案】 5－1
点评：圆锥曲线中最值的求法有两种： (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及 意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法． (2) 代 数 法 ： 若 题 目 的 条 件 和 结 论 能 体 现 一 种 明 确 的 函 数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函 数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函 数的单调性法等．
对点训练 已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛
物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．
【解析】 设与直线x＋y＋5＝0平行且与抛物线y2＝2x
相切的直线方程是x＋y＋m＝0，则由
x＋y＋m＝0， y2＝2x，
消去
x，得y2＋2y＋2m＝0.令Δ＝4－8m＝0，得m＝
1 2
，因此|PQ|的