高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。

解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。

以下从五个方面予以阐述。

一．求距离的最值或范围：例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ，解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。

练习：1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）2、（2008安徽文）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：2422AB COS θ=-;（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解 ：（1）由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率22e =设l 为椭圆的左准线。

则:4l x =-作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上1122AF AA =∴ 112(cos )2FH AF θ=+ 122cos 2AF θ=+ 12cos AF θ=-∴同理 12cos BF θ=+1122cos AB AF BF θ=+==-∴。

方法二： 当2πθ≠时，记tan k θ=，则:(2)AB y k x =+将其代入方程 2228x y += 得 2222(12)88(1)0k x k x k +++-=设 1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是此二次方程的两个根.2212122288(1),.1212k k x x x x k k -+=-=++∴AB =====................(1) 22tan ,k θ=∵代入（1）式得AB = (2)当2πθ=时，AB = 仍满足（2）式。

22cos AB θ=-∴（3）设直线AB 的倾斜角为θ，由于,DE AB ⊥由（2）可得22cos AB θ=-，22sin DE θ=-2222212cos 2sin 2sin cos 2sin 24AB DE θθθθθ+=+==--++ 当344ππθθ==或时，AB DE +3、我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+c xb y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ． 如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点．(1)若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标． 解：（1）Θ((012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb Θ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A =Θ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b+=≥上的情形即可．2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=． 当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(c c a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(c c a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．4、已知P 点在圆x 2+(y -2)2=1上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。

解：故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ |的最大值，只要求|O 1Q |的最大值.设Q (x ，y )，则|O 1Q |2= x 2+(y -4)2 ① 因Q 在椭圆上,则x 2=9(1-y 2) ②将②代入①得|O 1Q |2= 9(1-y 2)+(y -4)2218272y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭因为Q 在椭圆上移动，所以-1≤y ≤1，故当12y =时，1max33OQ =此时max 331PQ =+二．求角的最值例2．M ，N 分别是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠MPN 的最大值是 . 解析：不妨设l 为椭圆的右准线，其方程是22=x ，点)0)(,22(00>y y P ，直线PM 和PN 倾斜角分别为βα和.∵)0,2(),0,2(N M - ∴,232220tan 00y y k PM =+-==α22220tan 00yy k PN =--==β于是)tan(tan αβ-=∠MPN 2321232tan tan 1tan tan 000y y y y ⋅+-=+-=αβαβ3362226226220020=≤+=+=y y y y ∵)2,0[π∈∠MPN ∴6π≤∠MPN 即∠MPN 的最大值为6π.评注：审题时要注意把握∠MPN 与PM 和PN 的倾斜角之间的内在联系.练习：1、已知椭圆的一个焦点为F 1(0,-22)，对应的准线方程为924y =-，且离心率e 满足：24,,33e 成等差数列。

（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线12x =-平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

（1）解：依题意e 223=，29222244a c c -=-=Q∴a ＝3，c ＝22，b ＝1，又F 1(0，－22)，对应的准线方程为924y =- ∴椭圆中心在原点，所求方程为22119x y += (2)假设存在直线l ，依题意l 交椭圆所得弦MN 被12x =-平分 ∴直线l 的斜率存在。

设直线l ：y ＝kx ＋m由2219y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得 (k 2＋9)x 2＋2kmx ＋m 2－9＝0∵l 与椭圆交于不同的两点M 、N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)＞0 即m 2－k 2－9＜0①设 M (x 1,y 1),N (x 2,y 2) 1221292x x km k +-∴==-+ 292k m k +∴=② 把②代入①式中得2222(9)(9)04k k k+-+<， ∴k ＞3或k ＜－3∴直线l 倾斜角2()()3223ππππα∈⋃，，三、求几何特征量代数和的最值例3.点M 和F 分别是椭圆192522=+y x 上的动点和右焦点，定点B(2,2). ⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求45|MF|+|MB|的最小值.解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F ′(-4,0)，离心率e=54，准线方程x=±425.⑴|MF| + |MB| = 10―|MF ′ | + |MB| =10―（|MF ′|―|MB|）≥10―|F ′B|=10―210.故当M ，B ，F ′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210. ⑵过动点M 作右准线x=425的垂线，垂足为H ，则54||||==e MH MF ⇒||54|H |MF M =.于是 45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=417.可见，当且仅当点B 、M 、H 共线时，45|MF|+|MB|取最小值417. 评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。

练习：1、点P 为双曲线1422=-y x 的右支上一点，M ，N 分别为1)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的点，则PM －PN 的最大值为 .解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点)0,5(1-F 和右焦点)0,5(2F .对于双曲线右支上每一个确定的点P ，连结PF 1，并延长PF 1交⊙F 1于点M o .则PM 0为适合条件的最大的PM ，连结PF 2,交⊙F 2于点N o .则PN 0为适合条件的最小的PN .于是00PN PM PN PM -≤-)1()1(21--+=PF PF 6242)(21=+=+-=PF PF故PM －PN 的最大值为6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.2．已知e 1，e 2分别是共轭双曲线12222=-by a x 和12222-=-b y a x 的离心率，则e 1+e 2的最小值为 .解析：,12222221a b a b a e +=+= 22222221ba b b a e +=+=)1)(1(44)(222221221ba ab e e e e ++=≥+ 8224)(242222=+≥++=b a a b考虑到021>+e e ，故得2221≥+e e .即e 1+e 2的最小值为22.评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.3．（2012年高考（山东文））如图,椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为3,直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程;(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值. 解:(I)222334c a b e a a -==⇒=① 矩形ABCD 面积为8,即228a b ⋅=② 由①②解得:2,1a b ==,∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=.(II)222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩, 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则21212844,55m x x m x x -+=-=,由226420(44)0m m ∆=-->得55m -<<. 22284442||245555m PQ m m -⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭.线段CD 的方程为)22(1≤≤-=x y ,线段AD 的方程为)11(2≤≤--=y x . (1)不妨设点S 在AD 边上,T 在CD 边上,可知)1,2(),2,2(,51---<≤D m S m .所以)3(2)]2(1[22m m SD ST -=--==,则22)3(554m m ST PQ--=, 令]2,53(,3),51(3-∈-=<≤-=t t m m m t ,则)453,21[1+∈t所以45)431(454)3(55422+--=--=t tt ST PQ, 当且仅当34=t 时ST PQ,此时53m =;(2)不妨设点S 在AB 边上,T 在CD 边上,此时11≤≤-m , 因此222==AD ST ,此时2552m STPQ -=, 当0=m 时STPQ(3)不妨设点S 在AB 边上,T 在BC 边上,可知,15-≤<-x由椭圆和矩形的对称性可知当53m =-时STPQ综上所述当53m =±和0时,||||PQ ST.四、求面积的最值例4．已知平面内的一个动点P 到直线334:=x l 的距离与到定点)0,3(F 的距离之比为332，点)21,1(A ，设动点P 的轨迹为曲线C .⑴求曲线C 的方程；⑵过原点O 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.求△MAN 面积的最大值.解析：⑴设动点P 到l 的距离为d ，由题意23=d PF 根据圆锥曲线统一定义，点P 的轨迹C 为椭圆.∵23,3===a c e c , 可得,2=a ∴134222=-=-=c a b 故椭圆C 的方程为：1422=+y x ⑵若直线l 存在斜率，设其方程为,kx y =l 与椭圆C 的交点),,(11y x M ),(22y x N 将y =kx 代入椭圆C 的方程1422=+y x 并整理得04)41(22=-+x k . ∴22121414,0k x x x x +-==+于是 2212))(1(||x x k MN -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=222241144116)1(kk k k ++=+⋅+= 又 点A 到直线l 的距离21|21|k k d +-=故△MAN 的面积241|12|||21kk d MN S +-=⋅=从而 2222414141)12(kk k k S +-=+-= ①当k =0时，S 2=1得S =1 ②当k >0时，S 2<1得S <1 ③当k <0时，24241)4()1(412=+≤-+-+=k kS 得2≤S若直线l 不存在斜率，则MN 即为椭圆C 的短轴，所以MN =2. 于是△MAN 的面积11221=⋅⋅=S .综上，△MAN 的最大值为2.评注：本题将△MAN 的面积表示为l 的斜率k 的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。