数学试卷 第1页（共22页） 数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前2019年黑龙江省齐齐哈尔市中考试卷数 学一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1.3的相反数是( )A .3-BC .3D .3± 2.下面四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A .B .C .D . 3.下列计算不正确的是( )A.3±B .235ab ba ab +＝C.)11-=D .222436ab a b （）＝ 4.小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是( )A .平均数B .中位数C .方差D .众数5.如图，直线a b ∥，将一块含30︒角（30BAC ︒∠＝）的直角三角尺按图中方式放置，其中A 和C 两点分别落在直线a 和b 上．若120︒∠＝，则2∠的度数为( )A .20︒B .30︒C .40︒D .50︒6.如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为( )A .5B .6C .7D .87.“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上）．到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地（赠送礼物的时间忽略不计），下列图象能大致反映战士们离营地的距离S 与时间t 之间函数关系的是( )A .B .C .D .8.学校计划购买A 和B 两种品牌的足球，已知一个A 品牌足球60元，一个B 品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有( )A .3种B .4种C .5种D .6种9.在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是110，则袋中黑球的个数为( )A .27B .23C .22D .1810.如图，抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-，其对称轴为直线12x ＝-，结合图象分析下列结论： ①0abc ＞； ②30a c +＞；③当0x ＜时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程20cx bx a ++＝的两根分别为113x -＝，212x ＝；⑤2404b ac a-＜；⑥若m ，n （m n ＜）为方程()()3230a x x +-+＝的两个根，则3m ＜-且2n ＞，毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）其中正确的结论有( )A .3个B .4个C .5个D .6个二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11.预计到2025年我国高铁运营里程将达到38 000公里．将数据38 000用科学记数法表示为 ．12.如图，已知在ABC △和DEF △中，B E ∠＝∠，BF CE ＝，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，若使ABC DEF △≌△，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．13.将圆心角为216︒，半径为5 cm 的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为 cm ．14.关于x 的分式方程21311x a x x --=--的解为非负数，则a 的取值范围为 ．15.如图，矩形ABOC 的顶点B 、C 分别在x 轴，y 轴上，顶点A 在第二象限，点B 的坐标为()2,0-．将线段OC 绕点O 逆时针旋转60︒至线段OD ，若反比例函数()0ky k x=≠的图象经过A 、D 两点，则k 值为 ．16.等腰ABC △中，BD AC ⊥，垂足为点D ，且12BD AC ＝，则等腰ABC △底角的度数为 ．17.如图，直线l：1y +分别交x 轴、y 轴于点A 和点1A ，过点1A 作11A B l ⊥，交x 轴于点1B ，过点1B 作12B A x ⊥轴，交直线l 于点2A ；过点2A 作22A B l ⊥，交x 轴于点2B ，过点2B 作23B A x ⊥轴，交直线l 于点3A ，依此规律…，若图中阴影11AOB △的面积为1S ，阴影212A B B △的面积为2S ，阴影323A B B △的面积为3S …，则n S ＝ ．三、解答题（共7小题，满分69分） 18.（10分）（1）计算：116tan 60|23-⎛⎫︒+- ⎪⎝⎭（2）因式分解：()21241a a a +-+-19.（5分）解方程：267x x +＝-数学试卷 第5页（共22页） 数学试卷 第6页（共22页）20.（8分）如图，以ABC △的边BC 为直径作O e ，点A 在O e 上，点D 在线段BC的延长线上，AD AB ＝，30D ∠＝． （1）求证：直线AD 是O e 的切线；（2）若直径4BC ＝，求图中阴影部分的面积．21.（10分）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A ．十分了解；B ．了解较多：C ．了解较少：D ．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次被抽取的学生共有 名； （2）请补全条形图；（3）扇形图中的选项“C ．了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为 °； （4）若该校共有2 000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？22.（10分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y （千米）与轿车所用的时间x （小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）货车的速度是 千米/小时；轿车的速度是 千米/小时；t 值为 ．（2）求轿车距其出发地的距离y （千米）与所用时间x （小时）之间的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共22页） 数学试卷 第8页（共22页）23.（12分）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD 对折，使边AB 与CD 重合，展开后得到折痕EF ．如图①：点M 为CF 上一点，将正方形纸片ABCD 沿直线DM 折叠，使点C 落在EF 上的点N 处，展开后连接DN ，MN ，AN ，如图②（一）填一填，做一做：（1）图②中，CMD ∠＝ ． 线段NF ＝ ．（2）图②中，试判断AND △的形状，并给出证明．剪一剪、折一折：将图②中的AND △剪下来，将其沿直线GH 折叠，使点A 落在点A '处，分别得到图③、图④． （二）填一填（3）图③中阴影部分的周长为 ． （4）图③中，若80AGN '︒∠＝，则A HD '∠＝ °.（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对；（6）如图④点A '落在边ND 上，若A N m A D n '='，则AGAH= （用含m ，n 的代数式表示）．24.（14分）综合与探究如图，抛物线2y x bx c ++＝与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，2OA ＝，6OC ＝，连接AC 和BC ． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，当ACD △的周长最小时，点D 的坐为 ． （3）点E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE 和BE ．求BCE △面积的最大值及此时点E 的坐标；（4）若点M 是y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．数学试卷 第9页（共22页） 数学试卷 第10页（共22页）2019年黑龙江省齐齐哈尔市中考试卷数学答案解析一、选择题 1．【答案】A【解析】解：3的相反数是3-， 故选：A ． 2．【答案】D【解析】解：A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B ．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D． 3．【答案】D【解析】解：A ．3±，正确，故此选项错误； B ．235ab ba ab +＝，正确，故此选项错误； C ．)11-=，正确，故此选项错误；D ．222439ab a b （）＝，错误，故此选项正确； 故选：D ．4．【答案】C【解析】解：能用来比较两人成绩稳定程度的是方差， 故选：C ． 5．【答案】C【解析】解：∵直线a b ∥，12=180=30=901=202=40BCA BAC BAC BCA ∴+++︒︒︒︒∴︒Q ∠∠∠∠，∠，∠，∠，∠．故选：C ． 6．【答案】B【解析】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个． 故选：B ． 7．【答案】B【解析】解：由题意可得，战士们从营地出发到文具店这段过程中，S 随t 的增加而增大，故选项A 错误， 战士们在文具店选购文具的过程中，S 随着t 的增加不变，战士们从文具店去福利院的过程中，S 随着t 的增加而增大，故选项C 错误， 战士们从福利院跑回营地的过程中，S 随着t 的增大而减小，且在单位时间内距离的变化比战士们从营地出发到文具店这段过程中快，故选项B 正确，选项D 错误， 故选：B ． 8．【答案】B【解析】解：设购买A 品牌足球x 个，购买B 品牌足球y 个，依题意，得：60751500x y +＝， ∴4205y x -＝． ∵x ，y 均为正整数，∴11516x y =⎧⎨=⎩，221012x y =⎧⎨=⎩，33158x y =⎧⎨=⎩，44204x y =⎧⎨=⎩，∴该学校共有4种购买方案．故选：B ． 9．【答案】C【解析】解：设袋中黑球的个数为x ，根据题意得51=5+23+10x ，解得22x ＝，即袋中黑球的个数为22个． 故选：C ． 10．【答案】C【解析】解：∵抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-，其对称轴为直线数学试卷 第11页（共22页） 数学试卷 第12页（共22页）12x =-∴抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-和()2,0，且a b ＝ 由图象知：0a ＜，0c ＞，0b ＜ ∴0abc ＞ 故结论①正确；∵抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-9306330a b c a bc aa c a ∴-+∴∴+Q ＝＝＝-＝-＞故结论②正确；∵当12x -＜时，y 随x 的增大而增大；当102x -＜＜时，y 随x 的增大而减小∴结论③错误； ∵20cx bx a ++＝，0c ＞∴210c bx x a a++= ∵抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-和()2,0 ∴20ax bx c ++＝的两根是3-和2 ∴1b a =，6ca =- ∴210cb x x a a ++=即为：2610x x -++＝，解得11=3x -，21=2x ； 故结论④正确；∵当12x =-时，2404ac b y a -=＞∴2404b ac a -＜故结论⑤正确；∵抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-和()2,0， ∴()()2=32y ax bx c a x x +++-＝∵m ，n （m n ＜）为方程()()3230a x x +-+＝的两个根∴m ，n （m n ＜）为方程()()3233a x x +-+＝-的两个根∴m ，n （m n ＜）为函数()()32y a x x =+-与直线=3y -的两个交点的横坐标 结合图象得：3m ＜-且2n ＞ 故结论⑥成立； 故选：C ． 二、填空题 11．【答案】43.810⨯【解析】解：38 000用科学记数法表示应为43.810⨯， 故答案为：43.810⨯．【考点】科学记数法的表示方法． 12．【答案】AB DE ＝ 【解析】解：添加AB DE ＝；BF CE BC EF ∴Q ＝，＝，在ABC △和DEF △中，AB DE B E BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴ABC DEF SAS △≌△（）； 故答案为：AB DE ＝． 13．【答案】4【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得21652180r ππ⨯=，解得3r ＝，所以圆锥的高4=（cm ）． 故答案为4．14．【答案】4a ≤或3a ≠【解析】解：21311x a x x --=--，方程两边同乘以1x -，得()2131x a x -+-＝，数学试卷 第13页（共22页） 数学试卷 第14页（共22页）去括号，得2133x a x -+-＝，移项及合并同类项，得4x a -＝，∵关于x 的分式方程21311x a x x--=--的解为非负数，10x -≠， ∴()40410a a -⎧⎪⎨--≠⎪⎩≥，解得，4a ≤且3a ≠， 故答案为：4a ≤且3a ≠． 15．【答案】3-【解析】解：过点D 作DE x ⊥轴于点E ， ∵点B 的坐标为()2,0-，∴2k AB -＝， ∴2kOC -＝，由旋转性质知2kOD OC -＝＝、60COD ︒∠＝， ∴30DOE ︒∠＝，∴1124DE OD k ＝＝-，cos302k OE OD ⎛⎫︒- ⎪⎝⎭＝＝，即1,4D k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∵反比例函数()0ky k x=≠的图象经过D 点，∴214k k ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：0k ＝（舍）或3k =-，故答案为：16．【答案】15︒或45︒或75︒【解析】解：①如图1，点A 是顶点时， 12AB AC AD BC BD CD AD BC AD BD CD ∴∴Q Q ＝，⊥，＝，＝，＝＝，在Rt ABD △中，()118090452B BAD ⨯︒-︒︒∠＝∠＝＝；②如图2，点A 是底角顶点，且AD 在ABC △外部时，121230130152AD BC AC BC AD AC ACD BAC ABC ∴∴︒∴⨯︒︒Q ＝，＝，＝，∠＝，∠＝∠＝＝；③如图3，点A 是底角顶点，且AD 在ABC △内部时，()121230118030752AD BC AC BC AD AC C BAC ABC ∴∴∠︒∴∠∠︒-︒︒Q ＝，＝，＝，＝，＝＝＝； 故答案为：15︒或45︒或75︒．数学试卷 第15页（共22页） 数学试卷 第16页（共22页）17．2243n -⎛⎫⎪⎝⎭【解析】解：直线l：1y +，当0x ＝时，1y ＝；当0y ＝时，x ＝∴()A ，()10,1A ∴130OAA ︒∠＝ 又∵11AB l ⊥， ∴1130OA B ︒∠＝， 在11Rt OA B △中，11OB OA ，∴11112S OA OB ⋅=＝；同理可求出：2143A B ＝，1243B B ＝，∴2221121144422333S A B B B ⎛⎛⎫⋅=⨯⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭＝；依次可求出：4343S ⎛⎫ ⎪⎝⎭；6443S ⎛⎫ ⎪⎝⎭；8543S ⎛⎫ ⎪⎝⎭……因此：2243n n S -⎛⎫ ⎪⎝⎭2243n -⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题18．【答案】解：（1）116tan 60|236213-⎛⎫+︒+-=+= ⎪⎝⎭；（2）()()()()()()()22124114111413a a a a a a a a a +-+--+---+-+＝＝＝．19．【答案】解：∵267x x +＝-，∴26979x x +++＝-，即()232x +＝，则3x +＝∴3x ±＝-，即13x +＝-23x -＝-．20．【答案】（1）证明：连接OA ，则2COA B ∠＝∠， ∵AD AB ＝，3060180603090B D COA OAD OA AD ∴︒∴︒∴︒-︒-︒︒∴∠＝∠＝，∠＝，∠＝＝，⊥，即CD 是O e 的切线； （2）解：∵4BC ＝， ∴2OA OC ＝＝，在Rt OAD △中，2OA ＝，30D ︒∠＝， ∴24OD OA ＝＝，AD ＝所以11•222OAD S OA AD ⨯⨯△＝＝因为60COA ︒∠＝，所以26022=3603COA S ππ⋅扇形＝，所以23OAD COA S S S π△阴影扇形＝﹣＝．21．【答案】解：（1）本次被抽取的学生共3030%100÷＝（名），数学试卷 第17页（共22页） 数学试卷 第18页（共22页）故答案为100；（2）10020301040---＝（名）， 补全条形图如下：（3）扇形图中的选项“C ．了解较少”部分所占扇形的圆心角36030%108︒⨯︒＝，故答案为108；（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生：20+4020001200100⨯＝（名）， 答：该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共1200名． 22．【答案】解：（1）车的速度是50千米/小时；轿车的速度是：4007280÷-（）＝千米/小时；240803t ÷＝＝． 故答案为：50；80；3；（2）由题意可知：()3,240A ，()4,240B ，()7,0C ， 设直线OA 的解析式为()110y k x k ≠＝，∴80y x ＝（03x ≤≤），当34x ≤≤时，240y ＝，设直线BC 的解析式为2y k x b +＝（0k ≠）， 把()4,240B ，()7,0C 代入得：22424070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得280560k b =-⎧⎨=⎩， ∴80560y +＝-，∴()()()8003240348056047x x y x x x ⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤＝≤≤≤≤；（3）设货车出发x 小时后两车相距90千米，根据题意得：()5080140090x x +--＝或()5080240090x x +-+＝，解得3x ＝或5．答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．23．【答案】解：（1）由折叠的性质得，四边形CDEF 是矩形，∴EF CD ＝，90DEF ︒∠＝，12DE AE AD ＝＝，∵将正方形纸片ABCD 沿直线DM 折叠，使点C 落在EF 上的点N 处， ∴2DN CD DE ＝＝，MN CM ＝，6015754EDN CDM NDM EN CMD NF EF EN ∴︒∴︒∴︒--∠＝，∠＝∠＝，＝∠＝，＝＝ 故答案为：75︒，4-（2）AND △是等边三角形，理由如下：在AEN △与DEN △中，90AE DEAEN DEN EN EN =⎧⎪==︒⎨⎪=⎩∠∠，60AEN DEN SAS AN DN EDN ∴∴︒Q △≌△（），＝，∠＝，∴AND △是等边三角形；（3）∵将图②中的AND △沿直线GH 折叠，使点A 落在点A '处， ∴AG AG '＝，A H AH '＝，∴图③中阴影部分的周长ADN ＝△的周长3412⨯＝＝； 故答案为：12；（4）∵将图②中的AND △沿直线GH 折叠，使点A 落在点A '处， 805070180707040AGH A GH AHG A HG A GN AGH AHG A HG A HD ∴'''︒∴︒∴'︒∴'︒-︒-︒︒Q ∠＝∠，∠＝∠，∠＝，∠＝，∠＝∠＝，∠＝＝；数学试卷 第19页（共22页） 数学试卷 第20页（共22页）故答案为：40；（5）如图③，60A N D A NMG A MN A NM DNH NGM A NM DNH AGH A GH∠'︒''∴''Q Q ∠＝∠＝∠＝＝，∠＝∠，∠＝∠，△∽△∽△，△≌△∴图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对， 故答案为：4；（6）设A N ma A D n'=='，则'A N am ＝，'A D an ＝，60120N D A A NA G A GN NA G DA H A GN DA H A GH HA D '︒∴'+''+'︒∴''∴''Q ∠＝∠＝∠＝∠＝，∠∠＝∠∠＝，∠＝∠，△∽△，∴A G A N GN A H DH A D''==''， 设'A G AG x ＝＝，'A H AH y ＝＝，则4GN x -＝，4DH y -＝，∴44x am xy y an-==-，解得：44am x y an+=+，∴4242AG am am am an m n AH an am an an m n++++===++++； 故答案为：22m nm n++．24．【答案】解：（1）∵2OA ＝，6OC ＝ ∴()2,0A -，()0,6C -∵抛物线2y x bx c ++＝过点A 、C∴420006b c c -+=⎧⎨++=-⎩，解得：16b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为26y x x --＝（2）∵当0y ＝时，260x x --＝，解得：12x ＝-，23x ＝∴()3,0B ，抛物线对称轴为直线231=22x -+= ∵点D 在直线12x =上，点A 、B 关于直线12x =对称∴1=2D x ，AD BD ＝∴当点B 、D 、C 在同一直线上时，ACD C AC AD CD AC BD CD AC BC+++++V ＝＝＝最小设直线BC 解析式为6y kx -＝ ∴360k -＝，解得：2k ＝ ∴直线BC ：26y x -＝∴12652D y ⨯-=-＝ ∴1,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）过点E 作EG x ⊥轴于点G ，交直线BC 与点F设()2,6E t t t --（03t ＜＜），则(),26F t t -∴()222663EF t tt t t ----+＝＝-∴()()2111113322222BCE BEF CEF S S S EF BG EF OG EF BG OG EF OB t t +⋅+⋅=+=⋅=⨯-+△△△＝＝23327=228t ⎛⎫--+⎪⎝⎭ ∴当32t ＝时，BCE △面积最大∴23321=6224E y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭数学试卷 第21页（共22页） 数学试卷 第22页（共22页） ∴点E 坐标为321,24⎛⎫- ⎪⎝⎭时，BCE △面积最大，最大值为278．（4）存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形． ∵()2,0A -，()0,6C -∴AC ①若AC 为菱形的边长，如图3，则MN AC ∥且，MN AC ＝＝∴(1N -，(22,N --，()32,0N②若AC 为菱形的对角线，如图4，则44AN CM ∥，44AN CN ＝ 设()42,N n -∴n -=解得：103n =-∴4102,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭综上所述，点N 坐标为(-，(2,--，()2,0，102,3⎛⎫--⎪⎝⎭．。