y)


y
F
(x, y, y
y)


1 2!


y2
2F
(x, y, y2
y)

2
y
y
2F (x, y, yy
y)


y2
2F (x, y, y2
y)


5.1 泛函与变分原理
J
x1 Fy y Fy y
加权余数法的核心思想是：近似解与解析解相比会存 在误差R，但是可以通过一个准则使R尽量小，求解这个等 式，就可以得到待定常数的值，也就得到了近似解。
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法特点
1. 有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。 因为变 分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理
（如力学中的最小势能原理）。
泛函的变分
J J ( y y) J ( y)
x1F(x, y y, y y) F(x, y, y)dx x0
5.1 泛函与变分原理
利用二元函数的泰勒展开
F (x, y y, y y)

F
(x,
y,
y)

1 1!


y
F
(x, y, y
自变量为函数，而不是变量。
5.1 泛函与变分原理
例5.1.1 质点在重力作用下，沿一条光滑的从A点到B 点的曲线运动，如图所示。求下落时间最短的曲线。
O
x0
A
x1 x
捷线问题
B y
曲线上任一小段线元长度为：
ds2 dx2 dy2 (1 dy 2 )dx2 dx
ds (1 y2 )dx
y Y(x) y(x) Y(x) y(x) (y)
5.1 泛函与变分原理
5.1.3 泛函的变分
定义最简泛函
J[ y(x)] x1 F(x, y, y)dx x0 F(x,y,y’)称为泛函的“核函数”
最简泛函: 核函数只包含自变量 x、未知函数y(x)以及导数y’(x)
第五章 偏微分方程的有限元法
5.1 泛函与变分原理 5.2 基于变分原理的有限元法 5.3 matlab有限元法工具箱
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法（FEA，Finite Element Analysis，FEM） 有限元法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问
题，然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。
个域总的满足条件(边界条件），即最终归结为一组多元的
代数方程组，求解代数方程组，就得到待求边值问题的
数值解。
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法--加权余数法
自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余 数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程， 因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理 场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
5.1 泛函与变分原理
线元处的质点速度为
v 2gy
ds线元下落时间为
ds 1 y2
dT
dx
v
2gy
O
x0
A
x1 x
B y
从A点到B点的下落时间为
T x1 1 y2 dx J[ y(x)]
x0 2gy
J[ y(x)] min
5.1 泛函与变分原理
5.1.2 函数的变分
有限元法将求解域看成是由许多被称为有限元的小的互 连子域组成，对每一单元假定一个较简单的近似解，然后推 导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不 是准确解，而是近似解。有限元不仅计算精度高，而且能适 应各种复杂形状，因而成为行之有效的数值计算方法。
有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结 构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用 于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的 各类物理场中。
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法---变分原理
基于变分原理的有限元法是逼近论、偏微分方程、变 分与泛函分析的巧妙结合。
基于变分原理的有限元法以变分原理为基础，把所 要求解的微分方程定解问题，首先转化为相应的变分问 题，即泛函求极值问题；它将求解域看成是由许多称为 有限元的小的互连子域组成，然后利用剖分插值，对每一 单元假定一个合适的(较简单的）近似解，把离散化的变分 问题转化为普通多元函数的极值问题，然后推导求解这
x0

1 2!

Fyy

y2

2Fyy
y
y

Fyy

y2


dx
J 2J
其中
J
x1 x0
Fy y Fy y dx
Fy

F y
Fyy

2F y 2
J J ( y y) J ( y)
2J 1
5.1.1 泛函的定义
泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的 “函数”。
设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任 一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为 y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数，
而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数，即
2. 优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒 质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点：
① 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。 ②不必单独处理第二、三类边界条件。 ③ 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和 单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。
5.1 泛函与变分原理
2
x1
x0

Fyy
y
2 2Fyy y y Fyy
y 2 dx
分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。
5.1 泛函与变分原理
泛函取极值的必要条件：一阶变分为零
J 0
性质：对于最简泛函，变分运算可以与积分、微 分运算交换次序
设y(x)是泛泛函J的定义域，则Y(x)与y(x) 之差为函数y(x)的变分。
y Y (x) y(x)
变分δy是x的函数，它不同于函数的
增量Δy。y y x x y x
性质：函数求导与求变分可以交换次序