第３ １卷 第 ３期 ２１ ０ １年 ９月
数 学理 论 与应 用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩ ＣＡＬ ＴＨＥ０ＲＹ ＡＮＤ ＡＰ ＬＩ Ｐ ＣＡ 兀ＯＮＳ
Ｖ０． １ Ｊ ３ Ｎｏ ３ ．
Ｓｐ ０ １ ｅ ．２ １
小 波 包 变 换 及 代 价 函数 设 计 综 述
罗 永 李 建 平 成 礼 智 杨 凯
ｋｏ ｌ ｇ ｅｏｅｌ ｋｄｅｓｙ ｈｓｐｐｒａａ ｚｓ ｈ ａｅ ｔ ａｋｔ ｈｏ ．Ｔ ｅｏｊｃ ｖ ｎｔ ｎ ｎ ｈｉ ｎｗｅ ｅｔ ｂ ｖｒ ｏｅ ａｉ ．Ｔ ｉ ａ ｅ ｎ ｙｅ ｔｅｗ ｖｌ ｃ ｅ ｔｅｒ ｈ ｂｅｔ ｅｆ ｃｉ ｓａｄｔｅ ｄ ｏ ｏ ｌ ｌ ｅｐ ｙ ｉ ｕ ｏ ｒ ｉ ｄｏ ｐｉ ｔ ｎａ Ｓｍｍ ｒｅ ， ｎ ｅ ｂｅｔｅｆ ｃｏ ｒ ｓｄ ｈｓ ａｅ ａ ｐｏ ｄ ｅ ａ ｆ ｆｌ ｆ ｐ ｌａｉ ｙ ｕ ａｉ ｄ ａ ｄｔｅｎｗ ｏｊｃ ｖ ｎｔ ｎｉ ｐｏｏｅ ．Ｔ ｉ ｐｐｒＣ ｒ ｉｅｎ ｗｗ ｙｏ ｅ ａ ｃ ｏ ｅ ｚ ｈ ｉ ｕ ｉ ｓ ｐ ｎ ｖ
ｔ ａ ｈ ｎ ａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ｅ ｃ ｉ ｇ ｗ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ ．
Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｗ ａ ｅ ｅ ａ ｋ ｔ ｙ ｒｓ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ Ｃ ｓ ｆｎ ｔ ｎ Ｗ ａ ｅｅ ｐ ｌ ａ ｉｎ ｏ ｔ ｕ ｃｉ ｏ ｖ ｌｔａ ｐ ｉ ｔ ｃ ｏ
１ 引 言
小波包是 由 Ｃ ｉ ａ 、 ｅｅ 及 Ｗｉ ｈｕｅ 提 出的。他们在研究正交小波基的基础上创 ｏｍ ｎ Ｍ ｙｒ ｆ ｃ ａｓ ｋ ｒ
立 了正交 小波 包 的概念 ， 后来 又 发展 到半 正交小 波 包和 广义 小波 包 。 由于 正交小 波 变换 采用 Ｍａｌ 算法 实现 ， 对信 号 的低频 部分 做进 一步 分解 ， 对 高频 部 ｌｔ ａ 只 而
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｗａ ｅ ｅ ａ ｋ ｔｉ ｎ ｉ ｏ ｎ ａｔｏ ａ ｅｅ ｅ ｒ ．Ｉ ｈ ｓａ ｗ ｄ ａ ｇ ｆａ ｐ ｉａｉ ｎ ｎ ｔ ｅｎ ｎ－ｓａ ｓｒ ｃ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ ｓａ ｍｐ ￣ａ ｔ ｒ ｆｗ ｖ ｌｔｔ ｏ ｙ ｔ ａ ｉ ｅ ｒｎ ｅｏ ｐ ｌ ｔ ｓｉ ｏ － ｔ － ｐ ｈ ｃ ｏ ｈ ｔ ｎ ｒ ｉｎ ｌ ｅ ｅ ｔ ｎ ａ ｄｆ ｕ ｔ ｉｇ ｏ ｉ．Ｗ ａ ｅｅ ｎ ｙ ｉ ａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ｅ ｃ ｉｇ ｉ ａ ｄ ｆ ｃ ｌ ｏ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｐ ｉ ｔ ｆ ｉ ａｙ ｓｇ ａ ｔ ｃｉ ｎ ａ ｌ ｄ ａ ｎ ｓｓ ｏ ｄ ｏ ｖ ｌｔ ａ ｓｓｗ ｖ ｌｔ ｃ ｅ ａ ｈ ｎ ｉ ｉｕ ｔ ｎ ｎ ｈ ｏｎ ａｌ ｐ ｔ ｓ ｆ ｏ
分不再继续分解 ， 以小波变换仅能很好的表征以低频信息为主要成分的信号。但是在实际 所 应用中非平稳机械振动信号 、 遥感 图像 、 地震信号和生物医学信号等包含大量细节信息 ， 正交
国家博 士后基金资助 （０ ０ ４ ０ ５ ２ １０ ７０ ９） 收稿 日期 ：０ １年 ９月 ５ 日 ２１
易忽 视 目标 函数 设计 。本 文针 对在 小 波包 教学 中存 在 的 问题 ， 过小 波包 教 学 的实践 ， 不 同 通 对 应用 领域 的 目标 函数 设计 的进 行 了总 结 和归 纳 ， 提 出 了新 的 目标 函数 。期望 能 对 小 波包 的 也 教学 提供 一些 新 的思 路 。
（． １ 国防科技 大学理 学 院 ， 长沙 ， １０ ３ ４ ０７ ） （．７６ ２ ７ ５ ９部 队 ， 萨 ，５ ０ ３ 拉 ８０ ０ ）
摘 要 小波 包是 小波理论 的重要 组成 部分 ， 非平稳信 号特征检测和故 障诊 断中具有 广泛的应 用。小波 包 在
教学是小波分析教 学的一 个难 点， 也是一个较容 易忽视的知识 点Ｏ本 文分析 了小波 包理论 ， 归纳 总结 了小波 包目标 函数 ， 以及 它们适用的领域 ， 并提 出了新的 目标 函数 。本 文可以对小波 包的教学提供 一些新的思路 。

（ ．Ｃ ｌ ｇ ｆ ｃ ｎｅ Ｎ ｔ ｎｌ ｎ ｅｓｙｏ ｅ ｎｅＴ ｃｎｌｇ ， ｈｎｓａ １０ ３ Ｃ ｉａ １ ｏｅｅｏ ｉ ｃ ， ａ ｏａ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｆ ｆ ｓ ｅｈ ｏ ｙ Ｃ ａｇｈ ０ ７ ， ｈｎ ） ｌ Ｓｅ ｉ ｖ ｉ Ｄ ｅ ｏ ４
（ ．Ｕ ｉ７ ５ ９ Ｌ ｓ ５ ０ ３ Ｃ ｉａ ２ ｎｔ ７ ６ ， ａａ８０ ０ ， ｈｎ ）
关 键 词 小 波 包 变换 代 价 函数 小 波 应 用
Ｗ ａ ｅｅ ｃ ｅ ａ ｓｏ ｍ ｎ ｖ ｌ ｔＰａ ｋ ｔ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ａ ｄ Ｔｈｅ Ｄｅ ｉ ｎ Ｃｏ ｔＦｕ ｃ ｉ ｎ ｓｇ ｓ ｎ ｔｏ
Ｌ ｏＹｏ ｇ ｕ ｎ Ｌ ｉｎ ｉｇ ｉＪａ ｐ ｎ Ｃ ｅ ｇＬ ｚ ｉ Ｙａ ｇＫａ ｈ ｎ ｉｈ ｎ ｉ
滤波 、 缩 、 平 稳机 械振 动信 号 的分 析 与故 障诊 断 】非 平 稳 信号 的特 征提 取 及 多 载波 压 非 、 调制 技术 等方 面 具有 重要 应用 。
但是 在小 波课 程 的教 学过 程 中 ， 容 易忽 视这 部分 内容 的教 学 ， 很 并且 最优 小波 包基 算 法容
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数 学 理 论 与应 用
小 波变 换不 能很 好地 分解 和 表示 细小 边缘 或纹 理 的信 号 。 小 波包 变换 可 以对 高频 部分 提供 更精 细 的分 解 Ｊ而且 这 种 分解 既无 冗 余 ， 无 疏漏 ， ， 也 所
以对包含大量中、 高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析 。小波包变换在信号去噪、