5ql 4 384EI
max
A ql 3 B 24EI
例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数） 解：建立坐标系并写出弯矩方程
Fb x1 L Fb M ( x2 ) x2 F ( x2 a ) L M ( x1 )
Fb/L A x1 C
F Fa/L B
X=0, w=0 ; θ =0
F w( x) 3Lx 2 x 3 6 EI F w 2 Lx x 2 2 EI




最大挠度及转角
FL3 wmax w( L) 3EI FL2 max ( L) 2 EI
C1 0 ; C2 0
EIw ( x )
( M ( x)dx )dx C x C
1
2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。 PF FP
A
C
B
D
边界条件：wA 0
wB 0
wD 0 D 0
w右 连续条件：w C C左
C左 C右
（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。 （2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
确定挠曲线、转角方程 F w( x) ( L x)3 3L2 x L3 6 EI F w ( L x) 2 L2 2 EI 自由端的挠度及转角 FL2 w( L) ( L) 3EI 2 EI
解二：建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x ) F ( L x)
w x
L F
写出微分方程并积分
x 确定挠曲线、转角方程
EIw M ( x) ( FL Fx) 1 2 EI w FLx Fx C1 2 FLx2 Fx3 EIw C1 x C2 2 6 应用位移边界条件求积分常数
§8—1 概述
§8—2 梁的挠曲线近似微分方程 §8—3 计算梁的变形积分法 §8—4 计算梁的变形叠加法 §8—5 梁的刚度计算和合理刚度设计
§8—6 简单超静定梁的求解
弯曲变形小结
§8—1 概述
4
5
6
一、挠曲线：梁变形后的轴线。 A 性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。
w
C w
P
F
B
x
二、挠度：横截面形心沿垂直于 C1 θ 轴线方向的位移。 用 “w” 表示。 w =w（x） ……挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。 三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“” 表示。 θ =θ (x)……转角方程。 由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。 四、挠度和转角的关系
写出微分方程并积分
w x
L
F x
EIw M ( x) F ( L x) 1 EI w F ( L x) 2 C1 2 1 EIw F ( L x)3 C1 x C2 6 应用位移边界条件求积分常数
X=0, w=0 ; θ =0 1 1 2 C1 FL ; C2 FL3 2 6
（3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。 4、确定挠曲线方程和转角方程 。
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
解一：建立坐标系并写出弯矩方程 M ( x ) F ( L x)
例：求图示梁的最大挠度和最大转角 （EI=常数） 解：建立坐标系并写出弯矩方程
ql qx2 q M ( x) x (lx x 2 ) 2 2 2
ql/2
A
q
ql/2
B
写出微分方程并积分
EIw
q (lx x 2 ) 2 q lx 2 x 3 EIw ( ) C1 2 2 3 q lx 3 x 4 EIw ( ) C1 x C2 2 6 12
a x2
L
b
写出微分方程并积分 左侧段（0≤x1≤a）：
Fb x1 L Fb 2 EIw1 x1 C1 2L Fb 3 EIw x1 C1 x1 D1 1 6L EIw1
右侧段（a≤x2≤L）： Fb EIw2 x2 F ( x2 a ) L Fb 2 F ( x2 a ) 2 EIw2 x2 C2 2L 2 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIw2 x2 C2 x2 D2 6L 6
…… （1 ）
1 w r ( x)
1 (w)
3 2 2
→→
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系：
联立（1）、（2）两式得
M ( x) w EI
EIw M( x)
w
M>0
w
M<0
w ( x ) ＞ 0
x
w ( x )
＜
0
x
结论：挠曲线近似微分方程——
dw tg w( x) w dx w =w（x）上任一点处——
tg w
w
A
C' C B
x
w挠度（

B
转角
8
§8—2 梁的挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系： M(x) 1 M 1 r EI r(x) EI 二、曲率与挠曲线的关系：
1 r ( x) w
EIw M( x)
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”、 ( w) 2 对变形的影响。 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
§8—3 积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 EIw( x) M ( x) EI w( x) M ( x)dx C1
L x 确定挠曲线和转角方程 qx 3 w (l 2lx 2 x 3 ) 24EI q w (l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24EI 最大挠度及最大转角
wmax
x L 2
C
应用位移边界条件求积分常数 X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . ql3 C1 , C2 0 24