Fh Fb , Mz 解：(1) FN F , M y 2 2
最大拉应力发生在 AB 线上各点 最大压应力发生在 CD 线上各点
FN M y M z c A W y Wz
t
Fh Fb 7F F 2 2 2 2 bh 5F hb bh bh bh 6 6 t 7F l (2) l AB l E bh E
√
(C) max 2 max 1 max 3 ；
(D) max 2 max 1 max 3 。
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，C 为形心，梁 上作用有均布载荷 q ，其作用方向及位置如图所示，该梁变 形有四种答案：
√ 纯弯曲； (C)
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(A) 平面弯曲；
(B) 斜弯曲； (D) 弯扭结合。
解：(1)
Fa 8F t FN M F 4 a2 2 4F c A W a a 2 2 a a 2 2 6
例：图示偏心受压杆。试求该杆 中不出现拉应力时的最大偏心距。
解： FN F ,
M Fe
F Fe FN M 2 0 t bh hb A W 6 b e 6
M Fl 3 kN m
M 2 T 2 r3 14.5 MPa W
满足强度条件，安全。
例：直径为 20 mm 的圆截面水平直角折杆，受垂直力 F 0.2 kN 作用，已知 [ ] 170 MPa 。试用第三强度理 论确定 a 的许可值。
解：危险截面位于固定端
T Fa , M 2Fa
解：FA x 3 kN,
FA y 4 kN
横截面 x 上的内力：
FN FA x 3 kN
FS FA y 4 kN M ( x) FA y x 4 x
1-1截面为危险截面，其上 FN 3 kN，M 8 kN m
1-1截面为危险截面，其上 FN 3 kN，M 8 kN m
例：求图示杆在 F 100 kN 作用下的最大拉应力 t ， 并指明所在位置。
解： 最大拉应力发生在后背面上各点处
100 10 3 5000 t 20 MPa 6 2 100 200 10 0.2 0.1 / 6
例：偏心拉伸杆，弹性 模量为 E，尺寸、受力如图 所示。求： (1)最大拉应力和最大压 应力的位置和数值； (2) AB长度的改变量。
FN M 3 10 3 8 10 3 81.1 MPa 2 3 πd πd c A W 81.9 4 32
t
偏心拉伸或压缩：
任意横截面上的内力：
FN F , M y F a, M z F b
FN M y z M z y A Iy Iz F Fa z F b y 3 cd 3 cd d c 12 12 c FN M y M z t A W y Wz F Fa Fb 2 2 cd cd d c 6 6
M 2 T 2 5 Fa [ ] 由 r3 W W
得 a 0.299 m
例：图示圆截面折杆，各杆的直径均
为 d 100 mm ， ] 160 MPa 。试用第三强度理论确 [ [F 定许可载荷 ] 。 解：危险截面在固定端
FN F , T F
2 M M y M z2 2 F
故中性轴的方程为
sin cos y0 z0 0 Iz Iy
中性轴是一条通过截面形心的直线。
z0 I y tan tan y0 I z
二、位移计算 斜弯曲概念
为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法
Fl 3 wy sin 3EI z 3EI z Fz l 3 Fl 3 wz cos 3EI y 3EI y
(A) 平面弯曲； (C) 拉弯组合； (B) 斜弯曲；
√
(D) 压弯组合。
例：三种受压杆件如图所示，杆1、2、3中的最大压应 力（绝对值）分别为 max 1 、 max 2 和 max 3 。现有下列四种答
案： (A) max 1 max 2 max 3 ； (B) max 1 max 2 max 3 ；
d a 8
§8.4 扭转与弯曲的组合变形
A截面为危险截面，其上
M Fl T Fa
T M , Wt W
2 1 2 3 2 2 0
2
r 3 1 3 2 4 2
T M 4 W W t
Mz cos Iy
y z M sin cos I Iy z
下面确定中性轴的位置： 设中性轴上某一点的坐标为 ( y0 , z0 ) ，则
y0 z0 0 M sin cos I Iy z
2 2
M2 T2 W
r4
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2
2 3 2


M 2 0.75T 2 W
圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：
M T r3 W
2
2
πd 3 W 32
r4
M 2 0.75T 2 W
2 2 2
2
例：水平直角折杆受铅直集中力 F 作用。圆轴 AB直
径 d 100 mm ， 400 mm ， 200 GPa ， 0.25 a E 4 。在截面 D顶点 K 处，测得轴向线应 0 2.75 10 变
r3 。试求该折杆危险点的相当应力
。
解：点 K， E 0
§8.2 斜
弯
曲
一、应力计算 中性轴的位置
Fy F sin
Fz F cos
M y Fz (l x)
F cos (l x)
M cos
M z M sin
Fy
Mz
Fz
My
Mz y My sin Iz Iz

Myz Iy
例：空心圆轴的外径 D 200 mm ，内径d 160 mm ， 长度 l 500 mm 。在端部有集中力F 60 kN ，作用点为切 [ 于圆周的 A 点。 ] 80 MPa ，试用第三强度理论校核轴的 强度。 解：危险截面位于固定端，其上
D T F 6 kN m 2
弯扭组合 & 拉弯扭组合
T M FN , Wt W A
2 1 2 3 2 2 0
2
r 3 4
2
2

M2 T2 W
r 4 2 3 2
M 2 0.75T 2 W
例：图示圆截面折杆，各杆的直径均
下面求截面核心：
F F a Fb t 2 2 0 cd cd d c 6 6
a b 1 c d 6
d 若a 0 ，则 b 6 c 若 b 0 ，则 a 6
下面求圆截面杆的截面核心：
FN F
M Fa
FN M F Fa 0 t 2 3 πd πd A W 4 32
第八章
组合变形
目录
§8.1 组合变形的概念
§8.2 斜弯曲
§8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合变形 §8.4 扭转与弯曲的组合变形
§ 8.1 组合变形的概念 前面几章研究了构件的基本变形：
轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。 由两种或两种以上基本变形组合的情况称为 组合变形。 所有由基本变形组合产生的杆件内力称为复 合抗力。
MD Fa 又 W π d 3 / 32
π d 3 E 0 13 .5 kN 则 F 32 a
危险截面在固定端 A 处
M 2Fa, T Fa
r3
(2 Fa) 2 ( Fa) 2 M 2 T 2 123 MPa 3 W π d / 32
组合变形结束了！大家没问题吧？
在复合抗力的计算中，通常都是由力作用的独立性原
理出发的。在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的诸
载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影响可以 忽略不计。 实验表明，在小变形情况下，这个原理是足够精确的。 因此，可先分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形， 然后采用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力 和总变形。
2 w wy w2 z
Fy l 3
tan
wy wz

Iy Iz
tan tan

挠度 w 与中性轴垂直
中性轴
梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合，这种弯 曲称为
§8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合
例：一折杆由两根圆杆焊接而成，杆直径d 100 mm ， 试求圆杆的最大拉应力 t 和最大压应力 c 。
例：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力 F ，该杆
的变形设有四种答案： (A) 平面弯曲变形； (C) 弯扭组合变形； (B) 斜弯曲变形； (D) 压弯组合变形。
√
例：具有切槽的正方形木杆，受力 如图。求： (1) m-m 截面上的最大拉应力 t 和 最大压应力 c ； (2) 此 t 是截面削弱前 t 值的几倍？
为 d 100 mm ， ] 160 MPa 。试用第三强度理论确 [ [F 定许可载荷 ] 。 解：危险截面在固定端
FN F , T F
2 M M y M z2 2 F
T FN M 由 r 3 4 4 [ ] W A W t 得 [ F ] 11 kN
π D3 W (1 4 ) 32