a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长
离心率
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
|x|≤ a,|y|≤ b
x2 b2

y2 a2
1(a
b

0)
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x 轴、y 轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)

(m

n)2
(m2 2

n2 )

2(a 2

c2 ).
m, n 是方程 x2 2ax 2(a2 c2 ) 0 的两个根，
y
P
所以 (2a)2 8(a2 c2 ) ≥ 0 .
2c2 ≥ a2

c2 ≥ 1 a2 2
F1 o
F2
x
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例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．

c2 (a c)2

(a c)2 4(a c)2
1
x2 a2

y2 b2
1
所以c2+10ac-3a2=0, 则e2+10e-3=0，
e 2 7 5.
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【例
4】设
F1，F2
分别是椭圆
x2 4

y2

1的左右焦点，若
P
是该椭
圆上的一个动点，求 PF1 PF 2 的最大值和最小值．
F1 o
F2
x
2a2 2e2 x02 4c2 ,

x02

2c2 e2
a2
.
a ≤ x0 ≤ a,
0≤
2c2 e2
a2
≤ a2.
e≥ 2 . 2
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例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
向量、方程组、不等式
2
y
P
F1 o
F2
x
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例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
正弦定理、三角函数
(Ⅶ)设 PF1F2 ,PF2F1 ,
| PF2 |
sin

| PF1 |
sin

| F1F2 | sin 90
y
;
焦点坐标是：(0, 5) ;顶点坐标是：(0, 6) (1, 0);
外切矩形的面积等于： 4 6 。
解题步骤： 1、由椭圆方程化为椭圆标准方程：
求a、b. x2 y 2 1
6
2、确定焦点的位置和长轴的位置.
例2 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1 (1) c=3,e= 3 , 焦点在x轴上；
,1]

2
sin(


4
)

(1,
2]
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椭圆
x2 9

y2 4
1 的焦点为 F1,F2 ，点
P 为其上的
动点，当 F1PF2 为钝角时，则点 P 的横坐标的取值
范围是___(__3_5_5_,_3_5_5_).
y
4xx2
y2 2 9
y2
5,
36,
x2 9 5
顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴
A1
(-a，0)
F1
和短轴。
b
oc
a A2(a，0)
F2 x
B1 (0,-b)
a、b、c分别叫做椭圆的长
半轴长、短半轴、长半焦
距。
四个顶点坐标分别为(-a, 0) (a, 0) (0, -b) (0, b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
解解解解:::易:易易易知知知知aaa＝a解＝＝＝2:22，易，2，，b知bb＝＝＝ba1＝1＝1，，，12cc，＝c，＝＝cb＝＝333，，，1，3，c＝ 3， 所所所所以以以以FFFF11(1(1－(－(－所－3以33，，3，F0，00)1)，()，0－，)FF，F22(23(F(，3233， (，0，)03，00)，)．)．F．02()．3，0)． 设设设设PPP((x(xx，x，，，yy)y设)y，)，，)，P(x，y)，
5.椭圆C：x 2 y2 1
，
94
若三角形PF1F2是直角三角形，则PF1:PF2是多少？
焦点三角形
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且
PF1 PF2 ，求圆短轴端点时， F1PF2 最大．
F1

o
F2
x
≥ 45 sin ≥
2、椭圆的对称性
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
Y
椭圆上任意一点P(x,y)
关于y轴的对称点是 P1 (-x, y)
x2 y2
a2
b2
x2 y2 1 a2 b2
P1（-x，y） O
即 P1 在椭圆上,则椭圆 关于y轴对称
同理椭圆关于x轴对称 关于原点对称
3．(2011·温州五校第二次联考)已知 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆xa22
＋by22＝1(a>b>0)上的一点，若 PF1 ·PF2 ＝0，tan∠PF1F2＝12，则
此椭圆的离心率为
1
2
答案： D
A.2
B.3
()
C.13
D.
5 3
4.若过F1且与长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，
若三角形ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是多少？
基本不等式
(Ⅲ)设 PF1 m, PF2 n ，
则mn
2a
4a2 (m n)2 4c2 m2 n2
e2

m2 n2 (m n)2

e2

m2 n2 (m n)2
1 (m n)2
≥2 (m n)2

1 2
y
P
e≥ 2 . 2
F1 o
F2
x
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同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
同前
e c a
同前
a、b、c的关系 a2=b2+c2
同前
三 、例题讲解
例1、已知椭圆方程为 x2 y2 1 ，则
25 16
它的长轴长是：10 ；短轴长是： 8 ；
y
(Ⅴ)设 P( x0 , y0 ) ， F1(c, 0), F2(c, 0).
P
PF1 PF2 FP1 F2P 0
( x0 c, y0 ) ( x0 c, y0 ) 0
F1 o
F2
x
x02 y02 c2
又
x02 a2

y02 b2
1

x02

2a2c2 c2
PF1 PF2 FP1 F2P 0
(a cos c,bsin ) (a cos c,bsin ) 0,
a2 cos2 c2 b2 sin2 0
a2 c2 c2 sin2
sin2

a2 c2 c2
≤1
a2 ≤ 2c2 e ≥ 2 .
3 (2) 长轴长等于20，离心率等于 5
(3) 长轴是短轴的三倍，椭圆经过点P(3，0)
离心率
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该
椭圆的离心率是
4
3
A.5
B.5
(B )
C.25
D.15
2．(教材习题改编)已知椭圆x52＋my2＝1 的离心率 e＝ 510，则 m 的值
为________．
则则则则＝P＝P＝＝PFFxFFx1x2x12＋P121＋P2＋PF＋ PFyFyF22y则2＝2y－2＝2－＝2－2＝＝－P(3(3－(3－＝F－＝x(＝31－2x＝＋Px3x232F＋3－2＋－xy＋－23221＝x－1＋x－1－x,－,－－,－(3－1－xx4x＝y4x－2y,42)y－－2)－·)－x·(·(x34(23y3＋2－3＝3)＝ －3＝3－·－(1x14－143－14(,x(－x3＝(3x,3,3－xx,－－x4－xy22142－)2y－y－(·x)y()38),38－x8))＝3．)2．．－－y14)(x83,)－x．2－y) 8)．
P
F1 o
F2 x
主页
[
2 2
,1)
45
主页
【3】（ 2010 全国卷 I 理科 16）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，
B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D，且 BF 2FD ，
3
则 C 的离心率为 3
.
y
BF 2FD
B
(c, b) 2( x c, y)
P3（-x，-y）
P（x，y） X
P2 x, y
结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
3、椭圆的顶点
x2 a2

y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？，说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)