实验四 图像的傅立叶变换与频域滤波
一、 实验目的
1了解图像变换的意义和手段；
2熟悉傅里叶变换的基本性质；
3熟练掌握FFT 方法的应用；
4通过实验了解二维频谱的分布特点；
5通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。
6、掌握怎样利用傅立叶变换进行频域滤波
7、掌握频域滤波的概念及方法
8、熟练掌握频域空间的各类滤波器
9、利用MATLAB 程序进行频域滤波
二、 实验原理
1应用傅立叶变换进行图像处理
傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化
系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。
通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。
对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
2傅立叶（Fourier ）变换的定义
对于二维信号，二维Fourier 变换定义为：
⎰⎰∞∞-+-==dxdy e y x f v u F y x f F vy ux j )(2),(),()},({π
二维离散傅立叶变换为：
∑∑-=+--==1
0)(2101
),(),(N y N y u M x u j M x MN
e y x
f v u F π
图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。
实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。
3利用MATLAB 软件实现数字图像傅立叶变换的程序：
I=imread(‘原图像名.gif ’); %读入原图像文件
imshow(I); %显示原图像
fftI=fft2(I); %二维离散傅立叶变换
sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心
RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部
II=imag(sfftI); %取傅立叶变换的虚部
A=sqrt(RR.^2+II.^2);%计算频谱幅值
A=（A-min(min(A))）/(max(max(A))-min(min(A)))*225;
%归一化
figure; %设定窗口
imshow(A); %显示原图像的频谱
域滤波分为低通滤波和高通滤波两类，对应的滤波器分别为低通滤波器和
高通滤波器。
频域低通过滤的基本思想：
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式，H(u,v)是选取的一个低通过滤
器变换函数，G(u,v)是通过H(u,v)减少F(u,v)的高频部分来得到的结果，运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。
理想地通滤波器(ILPF)具有传递函数：
其中，0D 为指定的非负数，),(v u D 为(u,v)到滤波器的中心的距离。
0),(D v u D =的点的轨迹为一个圆。
n 阶巴特沃兹低通滤波器(BLPF)(在距离原点0D 处出现截至频率)的传递函数为n D v u D v u H 20]),([11
),(+=
与理想地通滤波器不同的是，巴特沃兹率通滤波器的传递函数并不是在0D 处突
然不连续。
高斯低通滤波器(GLPF)的传递函数为
222),(),(σv u D e v u H =
⎩⎨⎧>≤=0
0),(0),(1),(D v u ifD D v u ifD v u H
其中，σ为标准差。
相应的高通滤波器也包括：理想高通滤波器、n 阶巴特沃兹高通滤波器、
高斯高通滤波器。
给定一个低通滤波器的传递函数),(v u H lp ，通过使用如下的简单关系，可以获得相应高通滤波器的传递函数：),(1v u H H lp hp -=
利用MATLAB 实现频域滤波的程序
f=imread('room.tif');
F=fft2(f); %对图像进行傅立叶变换
S=fftshift(log(1+abs(F)));%对变换后图像进行队数变化，并对其坐标平
移，使其中心化
S=gscale(S); %将频谱图像标度在0-256的范围内
imshow(S) %显示频谱图像
h=special('sobel'); %产生空间‘sobel ’模版
freqz2(h) %查看相应频域滤波器的图像
PQ=paddedsize(size(f));%产生滤波时所需大小的矩阵
H=freqz2(h,PQ(1),PQ(2));%产生频域中的‘sobel ’滤波器
H1=ifftshift(H); %重排数据序列，使得原点位于频率矩阵的左上
角
imshow(abs(H),[]) %以图形形式显示滤波器
figure,imshow(abs(H1),[])
gs=imfilter(double(f),h); %用模版h 进行空域滤波
gf=dftfilt(f,H1); %用滤波器对图像进行频域滤波
figure,imshow(gs,[])
figure,imshow(gf,[])
figure,imshow(abs(gs),[])
figure,imshow(abs(gf),[])
f=imread('number.tif');%读取图片
PQ=paddedsize(size(f));%产生滤波时所需大小的矩阵
D0=0.05*PQ(1); %设定高斯高通滤波器的阈值
H=hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D0);%产生高斯高通滤波器
g=dftfilt(f,H); %对图像进行滤波
figure,imshow(f) %显示原图像
figure,imshow(g,[]) %显示滤波后图像
三、实验步骤
1．生成如下图所示的一个二维矩形信号。
2．利用一维FFT计算二维付里叶变换。
分别显示行计算结果和列变换结果。
（立体结果，用mesh(F)显示）
3．利用MatLab工具箱中的函数编制FFT频谱显示的函数;
4 a). 调入、显示“实验一”获得的图像；图像存储格式应为“.gif”;
b) 对这三幅图像做FFT并利用自编的函数显示其频谱;
c) 讨论不同的图像内容与FFT频谱之间的对应关系。
5 利用MATLAB提供的低通滤波器实现图像信号的滤波运算，并与空间滤波进行比较。
6利用MATLAB提供的高通滤波器对图像进行处理。
7 记录和整理实验报告。
四、实验报告内容
1叙述实验过程；
2提交实验的原始图像和结果图像。
五、思考题
1．傅里叶变换有哪些重要的性质?
2．图像的二维频谱在显示和处理时应注意什么?
3.用数据和图片给出各个步骤中取得的实验结果，并进行必要的讨论，必须包括原始图像及其计算/处理后的图像。
4.结合实验，评价频域滤波有哪些优点？
5.在频域滤波过程中需要注意哪些事项？
clc;clear;
I=zeros(256,256);
for i=118:138
for j=118:138
I(i,j)=1;
end
end
% imshow(I);
[m,n]=size(I);
[X,Y]=meshgrid(1:m,1:n);
J=I.*(-1).^(X+Y);
% H=fft(J);
figure,mesh(log(1+abs(H)));title('行变换'); L=fft(J')';
figure,mesh(log(1+abs(L)));title(’列变换’);
clc;clear;
I=zeros(256,256);
for i=118:138
for j=118:138
I(i,j)=1;
end
end
% imshow(I);
I=fft(I);
J=fft(I')';
J=fftshift(J);
imshow(log(1+abs(J)),[])
clc;clear;
I=zeros(256,256);
for i=118:138
for j=118:138
I(i,j)=1;
end
end
% imshow(I);
F1=fft(fft(I)')';
F1=fftshift(F1);
F2=fftshift(fft2(I));
figure,imshow(I);
figure,mesh(log(1+abs(F1))); figure,mesh(log(1+abs(F2)));
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