│ 规律总结
3．利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示求解目 标，可以建立一个变量的函数关系，也可以建立满足一定条件的二 元函数关系．
│ 易错警示
易错警示
[易错六] 基本不等式—忽视“等号”条件成立的要素 例在算式“4×△＋1×○＝30”中的△，○中，分别填入两 个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△， ○)应为________．
a2＋b2
≤
2 .( )
│ 问题思考
[答案]对
[解析] 根据基本不等式和不等式的性质a2＋abb≤22aabb＝ ab；由
于
a＋b 2
＝
(a＋b)2 4
＝
a2＋b2＋2ab
4
≤
a2＋b2＋a2＋b2 4
＝
a2＋b2 2.
所以a2＋abb≤
a＋b ab≤ 2 ≤
a2＋b2 2.
│ 问题思考
► 问题3 当x<0时，函数y＝x＋1x的最大值为－2.( )
[解答] (1)v>0且a2≥25100av2，解得0<v≤25 2.
(2)当v≤25
2
时，Q＝
1000v 3
，Q是v的一次函数，所以，当v
2a
＝25
2
时，Q最大为
50000 3a
2 ；当v>25
2
时，Q≤
1000 a1v＋25v00
≤250a00，当且仅当1v＝25v00，即v＝50时，Q最大为250a00.
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 与基本不等式有关的函数最值问题 例1 证明下列不等式： (1)已知a>0，b>0，c>0，证明：acb＋bac＋cba≥a＋b＋c； (2)已知a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝2，证明： a＋13 ＋
b＋13＋ c＋13≤3.
│ 要点探究
[思路] (1)每两个一组使用基本不等式即可；(2)不等式左端
得t2≤
8 5
，即－
2
10 2 5 ≤t≤
10 5
，即t的最大值也就是2x＋y的最大值
为2
10 5.
方法3：化已知4x2＋y2＋xy＝1为2x＋14y2＋ 415y2＝1，令
2x＋14y＝cosα， 415y＝sinα，则34y＝ 515sinα，则2x＋y＝2x＋14y
＋34y＝cosα＋
515sinα＝2
规律总结
1．利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是利用基本不 等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字 母的不等式证明中要注意利用对称性．
2．利用基本不等式可以求特定条件下的二元函数的最值，其 基本思想是通过变换的方法在已知条件和求解目标之间建立起使用 基本不等式的条件，即“一正、二定、三相等”，其中对条件和求 解目标的变换是解题的关键．
│ 问题思考
[答案]对 [解析] 当 x<0 时，－x>0，∴y＝x＋1x＝－－x＋1x≤－ 2 x·1x＝－2，当且仅当 x＝1x，即 x＝－1 时取等号，即 y 的最 大值为－2.
│ 问题思考
► 问题 4 若 x>0，y>0，且 x＋y＝2，则 2xy 的最大值为 1.( )
│ 问题思考
[答案]错 [解析] 2xy≤2x＋2 y2＝2，当且仅当 x＝y＝1 时取等号．故 2xy 的最大值为 2.
等式．等号当且仅当a＝b＝c＝23时成立．
│ 要点探究
[点评] 我们把任意交换不等式中两个字母不等式不变的不 等式称为轮换对称不等式，其证明的基本技巧也在“轮换”上， 即先对某个或某几个字母证明一个不等式，其余的类似解决， 最后通过同向不等式相加或相乘达到证明的目的．
│ 要点探究
► 探究点2 利用基本不等式求函数最值
P2 如果 P 是定值，那么当且仅当_x_＝__y__时，xy 有最大值___4___．
│ 问题思考
问题思考
► 问题1 x>0，y>0，P，Q为常数
(1)若x＋y＝P，则xy有最大值
P2 4
，当且仅当x＝y＝
P 2
取得上
述最大值；( )
(2)若xy＝S，则x＋y有最小值2 S ，当且仅当x＝y＝ S 取
)
25 8 A. 6 B.3
11 C. 3
D．4
│ 易错警示
[答案] (1)D (2)A
[解析]
(1)a2＋
1 ab
＋
1 aa－b
＝a2－ab＋ab＋
1 ab
＋
1 aa－b
＝ab
＋
1 ab
＋a(a－b)＋
1 aa－b
≥2＋2＝4.当且仅当ab＝1，a(a－b)＝
1，即a＝ 2，b＝ 22时等号成立．
[答案] (5,10)
│ 易错警示
[规范解答] 设数对为(a，b)，则4a＋b＝30.
∴1a＋1b＝3101a＋1b(4a＋b) ＝3105＋ba＋4ba≥130.
当且仅当ba＝4ba， 4a＋b＝30
时等号成立，即ab＝ ＝51， 0.
│ 易错警示
[易错警示] 警示1：理解清楚题目给出的4×△＋1×○＝ 30，正确把问题用数学式子表达出来．
13 6
＋ba＋ab≥163＋2＝265，故选A.
│ 易错警示
＋y)2－32·2xy＝1，
∴(2x＋y)2－
3 2
·2x2＋y
2≤1，解之得(2x＋y)2≤
8 5
，即2x＋
2 y≤
510.等号当且仅当2x＝y>0，即x＝
1100，y＝
510时成立．
│ 要点探究
方法2：令t＝2x＋y，则y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，得 6x2－3tx＋t2－1＝0，由于x是实数，故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解
│ 易错警示
自我检评(1)[2010·四川卷] 设a>b>0，则a2＋a1b＋a(a1－b)的最 小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
│ 易错警示
(2)设x，y满足约束条件 3xx－－y＋y－26≥≤0，0， x≥0，y≥0，
若目标函数z＝ax＋
by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为(
条件变为
a＋b 2
＝1，进行常数代换；(2)根据已知的和求解的目
标，把已知等式变形为关于2x＋y的不等式，或者使用代数换元
的方法，即令t＝2x＋y，得y＝t－2x，代入已知方程，这个方程
的判别式不小于零，或者变换已知式为2x＋14y2＋ 415y2＝1使 用三角换元的方法．
│ 要点探究
[答案] (1)C
C．4
D．2( 2＋1)
[答案] (1)3＋2 2 (2)C
│ 要点探究
[解析] (1)向量a∥b的充要条件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n
＝1，故m1 ＋n2＝(m＋n)m1 ＋n2＝3＋mn ＋2nm≥3＋2 2. (2)根据已知x2＋y2＝(1＋z)(1－z)，故1＋z＝x12＋－yz2，
│ 知识梳理
2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)； (2)ab＋ba≥__2__(a，b同号)； (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；
│ 知识梳理
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x、y∈R＋，x＋y＝P，xy＝S，有下列命题： 如果 S 是定值，那么当且仅当__x_＝__y_时，x＋y 有最小值 _2___S__；
│ 问题思考
► 问题 5 函数 y＝sinx＋si4nx，x∈0，π2的最小值为 4.( )
│ 问题思考
[答案] 错 [解析] 当 sinx＝si4nx时，sinx＝±2，显然等号取不到，事 实上，设 t＝sinx，则 t∈(0,1]，y＝t＋4t 在(0,2]上为减函数，故 当 t＝1 时，y 取最小值 5.
│ 易错警示
(2)不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by＝z(a>0，b>0)
过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，
目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，
即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而
2 a
＋
3 b
＝
2a＋3b
2a＋3b 6
＝
警示2：根据求解目标进行常数代换，防止两次使用基本不 等式时，不能保证等号同时成立．
警示3：不要忘记验证等号成立时，具体的变量数据．
│ 易错警示
[方法剖析] 运用基本不等式求最值的一个高频出错点就是 等号不能同时成立，这种情况主要出现在两次使用基本不等式 上，避免出现这种情况的方法之一就是进行常数代换，尽可能只 使用一次基本不等式．
的每一个都可以看作是1· 以构造轮换不等式．
＋13 的形式，根据基本不等式可
│ 要点探究
[解答] 证明：(1)由于a、b、c均为正实数，∴acb＋bac≥2b，
cba＋bac≥2c，cba＋acb≥2a，三式相加即得欲证不等式成立．
(2)
a＋13＝
1·a＋13≤1＋a2＋13＝23＋a2，
同理 b＋13≤23＋b2， c＋13≤23＋2c，三式相加即得所证不
得上述最小值．( )
│ 问题思考
[答案] (1)对 (2)对 [解析] (1)根据基本不等式xy≤x＋2 y2＝P42，等号当且仅当x ＝y＝P2. (2)根据基本不等式x＋y≥2 xy ＝2 S ，等号当且仅当x＝y ＝ S.
│ 问题思考
►
问题2
如果a>0，b>0，则一定有
2ab a＋b
≤
a＋b ab ≤ 2
2 10 (2) 5