2. 目标规划数学模型涉及的基本概念
(1) 偏差变量 对每一个决策目标，引入正、负偏差变量d+
和d-，分别表示决策值超过或不足目标值的部分。 按定义有三种情况
d+ ＞0， d- =0； d- >0 ， d+ =0 ； d+ =0 , d- =0。 三种情况只能有一种实际发生，故d+ × d- =0。

x1, x2 0
假定重新确定这个问题的目标为: (1): Z的值应不低于1900 (2): 资源1必须全部利用 将此问题转换为目标规划问题，列出数学模型
min f = P1d1- + P2d2-
100x1

10x1
+ 50x2 + 16 x2
+ d1+ d2-
- d1+ - d2+
❖ 该调运方案满足P1．P2，P3，P5各优先级目 标，但在总运费相对B1及B3的供应率这两方 面未能满足目标要求。总运费3360元超出运 费目标上限3245元约3.5%。对B1和B3的供应 率分别为95％相80％，差别较大，但这是较 低级的目标，对调运方案的满意程度影响不 大。
用图解表示的偏差变量
d
i
d
+ i
x2
9
6B
d
3
O 0
d
+ 2
d1-
C
E D
F8 9
A
12
x1
min{P1d1- ,
P2
d
+ 2
,
P3 (5d3-
+
3d
4
),
P4 d1+ }

x1 x1
x1
+ + -
2x2 2x2 2x2
+ + +
d1-
d
2
d3-
- d1+
-
d
+ 2
-
d
+ 3
= = =
图解法解目标规划解情况的讨论： （1）最后一级目标的解空间非空。这时得到的
解能满足所有目标的要求。当解不惟一时，决策者 在作实际决策时究竞选择哪一个解，完全取决于决 策者自身的考虑。
（2）所得到的解不能满足所有目标。这时，我 们要做的是寻找满意解，使它尽可能满足高级别的 目标，同时又使它对那些不能满足的较低级别目标 的偏离程度尽可能地小。
产品
Ⅰ
原材料（kg/件）
5
设备工时（h/件）
4
利润（元/件）
6
Ⅱ
限量
10
60
4
40
8
设产品I和II的产量分别为x1, x2； 其线性规划的数学模型为
4.1 目标规划问题及其数学模型
从线性规划的角度来看，问题已经得到了圆满解决。 但从工厂领导进行决策的立场上，问题没有这么简单，决 策时还需要考虑一系列其他问题：
6 9 4

x2
+
d
4
-
d
+ 4
=
2
x2

x1
,
x2
,
di-
,
d
+ i

0
9
6
C
3D
d
4
0
d
+ 2
d1+
d1-
F
E
6
d
3
89
12
x1
4.2 目标规划的图解法
若优先因子Pj对应的解空间为Rj，则优先因子 Pj+1对应的解空间只能在Rj中考虑。若Rj ≠Ø，而 Rj+1= Ø ，则Rj中的解为目标规划的满意解，它只 能保证满足P1，P2，…，Pj级目标，而不保证满 足其后的各级目标。
目标规划的顺序：先写约束，再写目标函数
(5)目标规划数学模型的一般形式
gk为第k个目标约束的预期目标值 。 W-lk和W+lk为Pl优先因子对应各目标的权系数
已知某实际问题的线性规划模型为
max Z = 100x1 + 50x2
1110+x13+x12 6x22 5 200
(资源1) (资源2)
= 1900 = 200

11x1 + 3x2 25

x1, x2 , di+ , di- 0
判断下述说法是否正确? (1)目标规划的数学模型应同时包括绝对约束和目标 约束。 (2)正偏差变量应取正值，负偏差应取负值。
4.2 目标规划的图解法
图解法只能解决只有两个决策变量的目标规划 问题，在用图解法解目标规划时，首先必须满足所 有绝对约束。在此基础上，再按照优先级从高到低 的顺序，逐个地考虑各个目标约束。
(4) 目标规划的目标函数
目标规划的目标函数由各目标约束的偏差变量 及相应的优先因子和权系数构成。目标规划追求的 是尽可能接近各既定目标值，即各有关偏差变量尽 可能小，所以其目标函数只能是极小化。应用时， 有三种基本表达式：
1) 要求恰好达到目标值。决策值超过或不足目 标值都是不希望的，有
min{ f (d++d-) }
用单纯形法求解目标规划问题：
min
Z
=
P1 (d1+
+
d
+ 2
)
+
P2d3-
62xxx111-++42xxx222+++ddd1-3-2----ddd1+3+2+===1540

x1,
x2
,
d
i
,
di+

0
用图解法解下列目标规划模型
min f
=
P1
d1+
+
d
+ 2
+
P2d3-
(4) 目标规划的目标函数
2)要求不超过目标值，但允许不足目标值。 这时，不希望决策值超过目标值，因此有
min{ f (d+) }
3)要求不低于目标值，但允许超过目标值。 这时，不希望决策值低于目标值，因此有
min{ f (d-) }
2. 目标规划数学模型涉及的基本概念
产品
Ⅰ
原材料（kg/件）
5
4.1 目标规划问题及其数学模型
1. 目标规划问题的提出
1961年，查思斯和库柏提出目标规划。目 标规划在处理实际决策问题时，承认各项决策 要求的存在有其合理性；在作最终决策时，不 强调其绝对意义上的最优性。在一定程度上弥 补了线性规划的局限性，是一种较之线性规划 更接近于实际决策过程的决策工具。
4.3 目标规划的单纯形法
目标规划的单纯形法求解的基本思路： 在用单纯形法解目标规划时，检验数是各优先
因子的线性组合。在判别各检验数的正负及大小时， 必须注意P1>>P2>>P3>>…。当所有检验数都已满足 最优性条件(cj-zj≥0)时，从最终单纯形表上就可以 得到目标规划的解。
❖ 目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模型结 构形式上没有本质的区别，所以可用单纯形法求解。 但要根据目标规划的特点，作以下规定：
+
P3d
+ 4
+
P4d5+
4x1 + 5x2 + d1- - d1+
= 80
4x1 + 2x2
+
d
2
-
d
+ 2
= 48
80x1 +100x2
+
d
3
-
d3+
= 800
x1
+
d
4
-
d
+ 4
=6
x1 + x2
+
d
5
- d5+
=
7
§4－4 目标规划应用举例
❖ 解上面的目标规划，可得使各方面尽可能满意的调 运方案，见表4-12
利润（元/件）
6
Ⅱ
限量
10
60
4
40
8
假设计划人员被要求考虑如下的意见：
(1) 由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半 (2)最好能节约4h设备工时 (3)计划利润不少于48元
特点：1. 多目标; 不超过、最好、不少于等。
2. 有一定的有限顺序
(1) 由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量 不超过产品Ⅰ的一半 (2)原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗 (3)最好能节约4h设备工时 (4)计划利润不少于48元
§4 目标规划
§4 目标规划
❖ §4.1 目标规划问题及其数学模型 ❖ §4.2 目标规划图解法 ❖ §4.3 目标规划的单纯形法
4.1 目标规划问题及其数学模型
1. 目标规划问题的提出
例1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的 限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一 个获利最大的生产计划。具体数据见表。
(3) 优先因子和权系数
不同目标的主次轻重有两种差别。一种是绝对的， 用优先因子Pl来表示。只有在高级优先因子对应的目 标满足的基础上，才能考虑较低级优先因子对应的目 标；在考虑低级优先因子对应的目标时，绝不允许违 背已满足的高级优先因子对应的目标。优先因子间的 关系为Pl>>Pl+1。另一种是相对的，这些目标具有相同 的优先因子，它们的重要程度用权系数的不同来表示。
(2) 绝对约束和目标约束 绝对约束是必须严格满足的约束条件，线性规