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数值分析 第五章习题

第五章 习 题
1. 用高斯消去法解方程组
123234011921261x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2. 用LU 分解,将第1题中的系数矩阵分解为L 和U 的乘积,L 是对角线元素为1的下三角矩阵,U 是上三角矩阵.
3. 用平方根法和T
LDL 分解为求解方程组 123121332522334x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
4. 证明
(1)两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵.
(2)下三角矩阵之逆仍为下三角矩阵.
5. 用列主元素消去法解方程组
1231231
233472212320x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+−=−⎨⎪−−=⎩ 取4位数字计算.
6. 对四阶Hilbert 矩阵为系数的方程组
12341234
1234
12341111
234111102345111103456111104
567x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧+++=⎪⎪⎪+++=⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎪+++=⎩ 试求其系数方程组A 的条件数()cond A ∞并分析方程组的性态。

7. 如果A 是一个对称正定矩阵,且带宽为21m +,证明在A 的三角分解T A LL =中出现的矩阵L 也是带状矩阵.
8. 设有三对角方程组
11121
2122232
b x
c x
d a x b x c x d +=+++=
(121111)
1n n n n n n n n n n n n a x b x c x d a x b x d −−−−−−−++=+=
其系数矩阵有严格对角优势. 试写出用LU 分解求其解的计算公式.
9. 画出2R 中满足下列不等式的集合. (1)11x ≤ (2)21x
≤ (3)1x ∞≤
10. 求证1I ≥,11A
A −≥. 11. 试证明2
21A
A A ∞≤
12. 对矩阵 2100121001210012A −⎡⎤⎢⎥−⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥−⎣⎦
求A ∞,2A ,1A 和2()Cond A .
13. 比较下面两个方程组的解.
123123123111
2311102341110345x x x x x x x x x ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩
,1231231231.000.500.3310.500.330.2500.330.250.200x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
15. 用LU 分解法求解线性方程组Ax=b,其中
0 19 9 -27118 45 0 -45
2,9 0 126 91627 -45 9 1358A b ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥


⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦
16. 求解线性方程组
4
4
121210102
x x x x ⎧+=⎨+=⎩。

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