定义 对于 R N 中的任意两点 x ( x1 , x2 ,..., x N ) 及 y ( y1 , y2 ,..., y N ), 我们把非负实数 ( xi yi ) i 1
N 2 1 2
称为 x 与 y 的欧几里德距离, 简称 x 与 y 的距离, 记作 ( x, y ) 或者 d ( x, y ).
i 1 i i N 1 2
显然区间 I 中任何两点的 数学分析中所说的无限 区间, 例如（ 0，） , 按照定义 2 的意义不是区间 . 今后凡说区间 , 若无 特别声明 , 均指在定义2 的意义下 .
注 2 定义 2 允许 ai bi , 因此空集 可以是除闭区间外 的任何一种区间 .
第4讲 n维空间中的点集
目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题。 重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理。
⒈度量空间

定义 3 两个非空的点集 A, B的距离定义为 d ( A, B) inf d ( x, y ).
xA yB
定义 3' 两个非空的点集 A, B的,若A={x},则点到集合的距离定义为 d ( x, B) inf d ( x, y ).
yB
注：a.若x B, 则d x, B 0; 反之则不一定成立，如x 0, B 0,1 .
n
总存在自然数 K , 使当 n K 时xn U ,
定义 2 ' 设 xn n 1 是 R N 中的一点列, x0 R N . 若

lim d ( xn , x0 ) 0, 称 x0 为点列 xn 的极限, 记作 lim xn x0 或 xn x0 .
n n
定义6 设 ai、bi 是实数, ai bi (i 1, 2,, N ). R N 中的 点集 （ | a1 x1 b1 , x1 , x2 ,, xN） I a2 x2 b2 ,, a N xN bN ,
称为开区间, 记作（a1 , b1 ; a2 , b2 ;; aN , bN） . 若把（）中的诸不等式换成 1 ai xi bi , i 1, 2, , N , 则 称 I 为闭区间, 记作 [a1 , b1; a2 , b2 ;; aN , bN ]. 若把（）中的诸不 1 等式换成 ai xi bi , i 1, 2, , N，则 称 I 为半开区 间, 记作 (a1 , b1 ; a2 , b2 ;; aN , bN ].
（ii）y U ( x, ), 0 使 U ( y, ) U ( x, );
证明 仅证（ii）令 ( y, x ), 则 0. 若 z U ( y, ), 则 ( z , y ) , 从而 ( z , x ) ( z , y ) ( y, x ) ( ) , 故 z U ( x , ), 于是 U ( y, ) U ( x, ).
b.若A B ，则d ( A,B) 0；反之则不一定成立， 如A n 1 / n, B n 1 / n（都是闭集）
定义 4 一个非空的点集 A 的直径定义为 ( A) sup d ( x, y ).
xA yA
定义 5 设 M 为 R N 中一点集, 若存在开区间I 使 I M , 则称 M 是有界集 .
命题
距离有如下三条基本性质：
（i） ( x, y ) 0; ( x, y ) 0 当且仅当 x y; （ii） ( x, y ) ( y, x ); （iii） ( x, y ) ( x, z ) ( z, y ). （三角不等式）
例： ⑴欧氏空间（R n , d）,其中 d ( x, y )
定义 5' 设 M 为 R N 中一点集, 若 ( M ) , 则称 M 是有界集.
定义 分量都是实数的有序 N 数组（x1 , x2 ,, xN）之 全体称为 R N 空间, 简称 R N . N 称为 R N 的维数. R N 的元素 x （x1 , x2 ,, xN）又称为 R N 的点, 点 x 的第 i 个分量又称为它的第 i 个坐标 （当点记为 x 时，它的第 i 个坐标通常记为 xi） . 点（0， 0， ， 0）称为 R N 的原点, 记作 .
不难看到，如果对任意 o， U P0 ， P0 E ， 则U P0 ， 中一定含 E 中无穷多个点。
定义 4 (1)点集 E 的所有内点组成的集称为 E 的内部(开核), 记作 E .

E 0 {x : 存在U ( x) E};
(2)点集 E 的所有聚点组成的集称为 E 的导集, 记作 E '. E ' {x : 任意U ( x)，U ( x) E \ {x} }; (3)点集 E 的所有边界点组成的集称为 E 的边界, 记作E. E {x : 任意U ( x)，U ( x) E ，U ( x) E c };
第4讲 n维空间中的点集
二．聚点、内点、边界点与Bolzano-
Weirstrass定理
问题1：给定Rn中一个集合E及点P，P与 E有几种可能的关系？
定义1 设 E R n , P R n ， 0 （i）若存在 0 ，使 U ( P0 , ) E ，则称 P0 为 E 的内点。 （ii）若存在 0 ，使 U ( P0 , ) E c ，则称 P0 为 E 的外点。 （iii）若对任意 0 ， U ( P0 , ) E ,U ( P, ) ( E c ) , 则称 P0 为 E 的边界点。 定义2 若对任意 0 ，U ( P0 , ) 中总有 E 中除 P0 外 的点，即 (U ( P0 , ) {P0}) E ,则称 P0 为 E 聚 点。 注：有限点集没有聚点。
(2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点
pn p (3)存在E中互异的点所成点列{pn}, 使得 lim n
0
证明：(3) (2) (1) 显然，下证 (1) (3)
命题 1 x0 是 E 的聚点 E中存在着 一列异于 x0 的点 x1 , x2 , x3 , 收敛于x0 .
(4){E的孤立点} {x : 存在U ( x)，U ( x) E {x}};
(5) E ' E称为E的闭包，记为E
E {x : 任意U ( x )，U ( x ) E };
E E E E o E E ' {E的孤立点全体}
命题 球形邻域有如下四条基本性质： （i）x U ( x, ); （ii）y U ( x, ), 则存在 0 使 U ( y, ) U ( x, ); （iii）若 x U ( x1 , 1 ), x U ( x2 , 2 ), 则 0 使 U ( x, ) U ( xi , i ), i 1,2. （iv）若x y, 存在U ( x, )和U ( y, ), 使U ( x, ) U ( y, )
定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射， 且满足
⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） 则称(X,d)为度量空间. (X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，若（Y,d）也是 一个度量空间，称（Y,d）为 (X,d) 的子空间。
（ 1）
（ | a1 x1 b1 , x1 , x2 ,, x N） I a2 x2 b2 ,, a N x N bN ,
当无必要区别是何种区间时就统记作 a1 , b1; a2 , b2 ;; a N , bN
（1）
把（1）中任意多个“ ”号换成“ ” , 相应的点集 I 统称为区间 ，
定义 2 设 x1 , x2 , x3 , 是 R N 中的一列点 (点列 x1 , x2 , x3 , 可记作 xn n 1 或 xn 1 ,

有时简记作 xn ),
x0 R N . 若对于含 x0 的任一邻域U , 就称 x0 为点列 xn 的极限, 称 xn 是一个 收敛于 x0 的点列, 记作 lim xn x0 或 xn x0 .
（此记号有时还写成 ai , bi ; i 1,2,, N ） .
对于区间 ai , bi ; i 1, 2,, N , 我们 把 bi ai (i 1, 2,, N )称为它的第 i 个边长, N 2 把 (bi ai ) 称为它的对角线长. i 1 把 记为 I . (b a ) 称为它的体积，
⒊聚点的等价描述
lim pn p 0 定义：称点列{pn} 收敛于p0 , 记为： n
若 lim d ( pn , p0 ) 0,
n
即 0, N 0, n N , 有pn O( p0 , )
定理1：下列条件等价：
Pn
P0 δ
(1) p0为E的聚点 (即： 0, 有O( p0 , ) ( E { p0}) ）
1 ( x, y ) max xi yi ;
i n
2 ( x y ) i i i 1
n
2 ( x, y ) xi yi ;
i 1
⑵离散空间(X , d)，其中
d ( x, y) {
1 x y 0 x y
⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续函数 全体), 其中