例：已知半圆环质量为Ｍ，半径为Ｒ 求：它的质心位置？
解：建立坐标系如图,
由对称性 xc 0
线密度 l M R
dm M Rd R
取dl → dm=ldl
y R sin
dl=Rd
yc
ydm M
R sin M R
M
Rd
R0
sin d
R ( cos ) R (11) 2R
0
质心不在物体上，但 相对半圆环位置固定
z
未落地部分：质量
m l
z，质心的坐标为
1 2
z
，
o
整条绳的质心坐标为
zc
1 m
(
m l
z
1 2
z
)
z2 2l
v
2g(l z)
质心的加速度为
ac
d vc dt
d dt
(
z l
v)
v2 l
z l
dv dt
zz
z
质心的速度为
vc
d zc dt
z l
dz dt
z l
v
ac
2g(1
l
)
l
g
2g
3 l
但质心却依然存在。 ③ 除非重力场均匀，否则系统的质心与重心通常不重合。
•作用在物体上各部分的重力方向平行；重力加速度可以视为常数。
•小线度物体（其上 g各处相等），质心和重心是重合的。
对于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的。 但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时，两者就不重合了， 如高山的重心比质心要低一些。
卡戎(冥卫一)和冥王星组成双星系统，
它们的共同质心在冥王星表面以外。
§3 质心运动定理
1、p系统的m总i动vi 量 mvc
系统内各质点的动量的矢量和等于
z ··
·
·
· C×vC rC · ri
·vi · mi
系统质心的速度与系统质量的乘积
O
y
2、质心运 动定理
F外
dP dt
d dt
(mvC
)
m
d vC dt
x
V1 : V2 : V3 R13 : R23 : R33 64 : 8 : 1
设小球质量为m0，则质量和质心坐标分别为：
o
大球： m1 64m0 , x1 0, y1 0
中球：m2 8m0 ,x2 R / 2, y2 0
三个球体可视为质量
小球：m3 m0 , x3 R / 2, y3 R / 4
m d m 2 R2 2 sin d 2 R2 0
半球壳质心的位置
xc 0,
yc
ydm
2 2 R3 sin cos d
0
1R
m
2 R2
2
例：计算如图所示的面密度σ为恒量的直角三角形的质心的位置。 解：取如图所示的坐标系
取微元ds=dxdy，质量为dm=σds=σdxdy ∴ 质心的x 坐标为
i 1
m
1 m
rvdm
1
1
1
xc m xdm, yc m ydm, zc m zdm
线分布：dm m dl l
面分布：dm m dS S
体分布：dm m dV V
•坐标系的选择不同，质心的坐标也不同； •密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； •质心不一定在物体上，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。
★质心的运动代表着质点系整体的运动，与单个质点的运动相同。 这正是将实际物体抽象为质点模型的实质。
质点系的任何运动一般都可分解为 质心的运动和相对于质心的运动
§2 质心参考系
质心参考系是固结在质心上的平动参考系。
质心在其中静止，一般选取质心作为坐标系的原点。
r' r r
i
i
c
N
r
r
rc
n 点C的位矢是质点系各质
rc
mi ri
i 1 n
点位矢的质量加权平均。 质心(质量中心)：质点系
mi 质量分布的平均位置。
i 1
直角坐标系中，各分量的表达式
n
mi xi
xc
i 1 n
,
mi
i 1
n
mi yi
yc
i 1 n
,
mi
i 1
n
mi zi
zc
i 1 n
mi
i 1
对两质点系统，质心位
N
mi ri mi
mi (ri rc ) mi ri ' 0
z z'
ri'
rc x' ri
i 1
求导
N
m i
v' i
i 1
0
i 1
x
mi
y'
y
从质心系中来看，系统总动量=0，零动量参考系 动量守恒
质 质心心系系中不的一速定度是惯v性' 系，v只有v合外力为零时质心系才是惯性系。
i
i
c
在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系。
x
r F外
marC
质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统
质心加速度的乘积。
与描述质点运动的牛顿第二定律在形式上完全相同。 整体的运动→单个质点的运动。 质心的运动与内力无关，仅取决于外力，如大力士不能自举其身。
若质点系受到的外力的矢量和为零，则质心静止或作匀速直线运动
例：柔绳下落 一质量m 长度为 l 均匀柔绳竖直悬挂，其下端
系统的总质量为 m m1 m2 m3 57m0
各自集中在质心（球 心）处的三个质点。
xc
m1 x1
m2 x2 m
m3 x3
0 4m0 R m0 R / 57m0
2
7R 114
yc
m1 y1
m2 y2 m
m3 y3
0 0 m0 R / 57m0
4
1 R 228
实例
★重心(Center of Gravity)和质心( Center-of-Mass)是两个不同的 概念： ① 重心是重力的作用点，质心是系统质量分布的中心。 ② 当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，
作业： P-139 38，39
方法2 用质心的概念
外力=0，系统质心保持静止
o
x10
x20 x
设初始船和车的坐标分别为x10和x20，根据质心坐标的定义得
t0时刻 m1x10 m2 x20 (m1 m2 )xc
t 时刻 m1(x10 x1) m2 (x20 x2 ) (m1 m2 )xc
两式相减得 m1x1 m2x2 0 车的相对位移 x2 (l1 l2 )
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1 质心
运动员跳水
若令系统总动量
p
投掷m手iv榴i 弹mvc
水平上抛三角板
其中 m mi m1 m2 L L 为质点系的总质量
质vrvrcc点系ddrv的tcmm整ivr体i 运如动点何mm可的i确d位以d定rvti置等这？效个为mmd一itd个rvi 假vrr想rci 质 d点drvtiCmm的i rri运动。
2 3
ab2 )
b
∴ 质心的坐标为 b , a
ab
ab
3
3 3
例：半径为R的大球内有一个半径为R/2的球形空腔，空腔的下部
放置了一个半径为R/4的小球。已知大球和小球的质量密度相同。
求：系统的质心。
y
解：该系统可看成由质量分布均匀(无空腔)的
大、中、小三个球体组成，它们各自的质心分
别处于球心处。中球的质量为负。
xc
xdm dm
x dxdy dxdy
xdxdy dxdy
( xdy)dx
从图中看出三角形斜边的方程为
yaa x
b
2 b x(a a x)dx
xc 0
b ab
1 ab 2
同理
x(a
a b
x)dx
b
aa x b
2 ydxdy
yc
0
0
ab
a 3
2( 1 2
ab2
a 3b
b3 )
(ab2
刚刚与地面接触。今使之自静止状态下落，
求：绳下落到所剩的长度为 z 时，地面对绳的作用力。
z
解：取整条绳子为研究对象，将柔绳视为 质点系，采用质心运动定理求解。
m
设地面对绳子的作用力N ，绳子的质心加速度
lz
ac ， 建立如图所示坐标系，对整个绳子：
N mg mac
l
质心的坐标：未落地部分+已落地部分
即第二块碎片的落地点的水 平距离为碎片质心与第一块 碎片水平距离的两倍。
小结
•质心 rc
n
mi ri /
n
mi
i 1
i 1
质心位置的计算，区别质心与重心
系统的运动=整体的运动+各质点相对于质心的运动
••质 *质心心运参动考定系理：F零c动量M参dd考vtc系 Mac
质心的运动与内力无关
演示
置总满足关系式：m1d1 =
· · m2d2 m1
C× m2
o
d1
d2
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y （x1, y1）
xc
mx1
mx2 3m
0
x1
3
x2
o
x2 x
yc
my1 0 0 3m
y1 3