x
j
y
= rot A
P
Q R
高斯公式与斯托克斯公式可写成: 高斯公式与斯托克斯公式可写成:
同理可证 故有
d u = P d x + Qd y + Rd z
u = P, x u = Q, y u =R z
(3) (4) 若(3)成立, 则必有 (3)成立, 成立
一阶偏导数连续, 因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有
P 2u Q = = y xy x
Q R R P = , = x z z y
dI lim I 1 = lim = S → M ∫ Aτ ds S S → M S Γ dS
n
M
Γ
S
在点M处绕方向 表达了向量场 A 在点 处绕方向 n 旋转趋势 的大小,称为 在点M处绕方向 环流密度. 的大小 称为 A 在点 处绕方向n 环流密度 环流密度也是一种变化率. 环流密度也是一种变化率
第九节 各种积分间的关系
三、斯托克斯公式 环流量与旋度
1. 斯托克斯公式 封闭曲线可以张成曲面， 封闭曲线可以张成曲面，该曲线也可看作 曲面的边界. 曲面的边界 斯托克斯公式揭示空间曲面片边界曲线 上的曲线积分与曲面片上的曲面积分之间 的曲线积分与曲面片上的曲面积分之间 的关系. 关系.
定理4 斯托克斯公式) 定理4 (斯托克斯公式) 设空间光滑曲面片 的边界曲线是光滑(或分段光滑) Σ 的边界曲线是光滑(或分段光滑)闭曲线Γ , 函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在包含Σ 在内的一个空间区域内有一阶连续偏导数， 在内的一个空间区域内有一阶连续偏导数， 则有 R Q P R Q P ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy Σ = ∫ Pdx + Qdy + Rdz 的方向符合右手规则. 证明从略. 其中 Γ 和 Σ 的方向符合右手规则. 证明从略.
Γ
(1)公式的行列式形式表示 公式的行列式形式表示: 注： 公式的行列式形式表示
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy y x z P Q R
=
∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
(2)公式的另一形式 公式的另一形式 cos α cos β cos γ
∫∫
Σ
x P
y Q
dS = z R
∫
Γ
d u = P d x + Qd y + Rd z
(4) 在G内处处有 内处处有
P y
=
Q x
,
Q z
= ,
R y
R x
=
P z
证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立; 由斯托克斯公式可知结论成立; (1) (2) (自证) 自证) (2) (3) 设函数 ( x, y,z ) u( x, y, z) = ∫ P d x + Qd y + Rd z
在点M处绕不同方向可能有不同 向量场 A在点 处绕不同方向可能有不同 的环流密度. 的环流密度. 旋度的定义 中一点M处存在这样一个 若在向量场 A 中一点 处存在这样一个 向量, 在点M的环流密度取得 向量,其方向是使 A在点 的环流密度取得 最大值的方向， 其模等于该点处环流密度的 最大值的方向， 最大值， 最大值，则称此向量为场 A 在点 的旋度， 在点M的旋度， 记作 rot A.
围成的区域 另解：利用对称性， 另解：利用对称性，得
3 = 2
Dxy : x + y = 1, x = 0, y = 0
1
Σ
z
1
Dxy
o
Σ
1 y
3 I = ∫∫ dydz + dzdx + dxdy = 3 ∫∫ dxdy = 2 Dxy Σ
x
Dx y
与平面 y = z 的 例2. Γ 为柱面 . 交线,从 轴正向看为顺时针, 交线 从 z 轴正向看为顺时针 计算 解 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧, 由斯托克斯公式，得 且取下侧, 由斯托克斯公式，
Σ
o
1
Σ
1 y
x
dydz = ( z x ) dxdy , dxdz = z y dxdy ,
(
)
∵ Σ : z = 1 x y , z x = 1, z y = 1 ∴ I = ∫∫ dydz + dzdx + dxdy = ∫∫ 3dxdy = ∫∫ 3dxdy
Σ
将以上三个积分化为对 曲面积分, 将以上三个积分化为对 x,y 的曲面积分,
I = ∫∫ zdzdx ydxdy = ∫∫ [( 1) z + y ]dxdy = 0
Σ Σ
z
Γ
Σ
y
o x
2
为下侧， 另解： 另解：∑：z = y 为下侧，法向量 n = (0,1, 1) 其方向余弦 利用斯托克斯公式得 cosα cos β cosγ
I = ∫∫
∑
x
y
z
dS
y
2
Γ
其中 Γ 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面截得的三角形的整个边界， 被三个坐标面截得的三角形的整个边界， 它的正向与三角形上侧符合右手规则. 它的正向与三角形上侧符合右手规则. 解 记三角形所在平面部分上侧为 Σ 由斯托克斯公式得到
z
1
I = ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
旋度的计算公式
rot A= =
R Q P R Q P ( ),( ),( ) = y z z x x y
i
x
j
y
k
z
P
Q
R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
∫∫ rot A nd S = ∫ Aτ ds ∫∫Σ(rot A)n d S = ∫ Γ Aτ ds
Σ Γ
旋度的力学意义: 旋度的力学意义: 转动, 设某刚体绕定轴 l 转动, 为刚体上任一点 为刚体上任一 角速度为ω , M为刚体上任一点, 建立坐标系如图, 建立坐标系如图, 则
y
+∫ x d y +∫ ( x + y) d z
0
z
= xy + ( x + y)z = xy + yz + zx
0
z
(x, y, z)
o
x
(x,0,0)
y
(x, y,0)
3.环流量与旋度 环流量与旋度 斯托克斯公式 R Q P R Q P ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy Σ
u =
2
u x
i+
2u x2
u y
j+
2u y2
u z
k = gradu
2u z2
u = u = gradu
=
+
+
= u
(2) A = P( x, y, z) i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z) k,
则 A =
× A =
P x
+
Q y
+
k
z
R z
= div A
i
同理
证毕
例3 验证曲线积分
∫ ( y + z)d x + (z + x)d y + ( x + y)dz
Γ
与路径无关, 并求函数 与路径无关
u( x, y, z) = ∫
( x, y,z ) (0,0,0)
( y + z)d x + (z + x)d y + ( x + y)d z
解 令
P = y+ z , Q= z+ x , R= x+ y
空间曲线积分的四个等价条件： 空间曲线积分的四个等价条件： (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 Γ, 有 内任一分段光滑闭曲线 ∫ P d x + Qd y + Rd z = 0
Γ
(2) 对G内任一分段光滑曲线 Γ, 内任一分段光滑曲线
∫
Γ
P d x + Qd y + Rd z 与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 内存在某一函数
P Q Q P R R 关. ∴ 积分与路径无关
u( x, y, z) = ∫
( x, y,z )
(0,0,0)
( y + z)d x + (z + x)d y + ( x + y)d z
积分与路径无关, 积分与路径无关, 因此
Pdx + Qdy + Rdz
(3) 如果Σ是 xoy 面上的一块平面区域, 如果Σ 面上的一块平面区域, 则斯托克斯公式就是格林公式， 则斯托克斯公式就是格林公式， 公式就是格林公式 故格林公式 是斯托克斯公式的特例. 是斯托克斯公式的特例. 特例
Q P ∫∫ ( x y )dxdy = D
∫
qx r
3
qy qz r3 r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋 无旋. 整个电场无旋.
例5. 设 . 的外法向量, n 为Σ 的外法向量, 计算 I = ∫∫ Σrot A ndS .
i j
y
k
z
解 rot A =
x
= (0, 0,1)
2y
3x z2
z
o x
l
M r