张太红 2003-01
新疆农业大学计算机及信息工程系
第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
四、属性集的闭包 给定的关系变量R，R的一个属性集Z，以及R的 一个函数依赖集S，R中所有的函数依赖于Z的属性 集，即属性集Z关于函数依赖集S的闭包Z+。
/*计算属性集Z关于函数依赖集S的闭包Z+的算法*/ CLOSURE[Z,S] := Z; Do “forever”; for each FD X → Y in S do; if X <= CLOSURE[Z,S] then CLOSURE[Z,S] := CLOSURE[Z,S] ∪ Y; end; if CLOSURE[Z,S] did not change on this iteration then leave loop; End;
结论2：给定关系变量R的一个函数依赖集S和属 性子集Z，Z关于S的闭包Z+是R的属性集的一个子集， 对于该子集中的任意属性A，函数依赖Z→A都成立， 如果Z+包含R的所属性，则Z为超键，如果Z是不可约的 ，则Z是候选键。
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
4、A→B，B→C，C→D A+={A,B,C,D} B+={B,C,D} C+={C,D} D+={D} AB+={A,B,C,D} AC+={A,B,C,D} AD+={A,B,C,D} BC+={B,C,D} BD+={B,C,D} CD+={C,D}
ID Name Course 英语 Grade 85 994631201 李敏 994631201 李敏 994631202 马明磊 994631202 马明磊 994631203 陈燕红 994631204 徐景辉 994631204 徐景辉 994631204 徐景辉 {ID，Course} →{Grade} {ID，Course} →{Name} {ID，Course} →{Name，Grade} {ID，Course} →{ID} {ID，Course} →{Course，Grade} {ID} →{Name} . . .
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
一、什么是函数依赖 设R是关系变量，X、Y是R的属性集的任意子 集，当且仅当对于R的所有可能的合法值，X的值 一但确定，Y的值也随之确定，即当两个元组的X 值相等时，Y值也相等，则Y函数依赖于X，表示 为：X→Y。
例：设R（A，B，C，D）是关系变量，对下列每 一个给定的函数依赖集，确定R的候选键： 1、B→C，D→A 2、AB→C，C→A，C→D 3、A→BC，C→AD 4、A→B，B→C，C→D 5、C→A，B→C，C→D 6、ABC→D，D→A 7、A→B，BC→D，A→C 8、AB→C，AB→D，C→A，D→B
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
例：设A、B、C、D、E和F是给定的关系变量R的属性集，R满足下列 函数依赖：S = {A→BC ，E→CF ，B→E，CD→EF} 计算属性集{A，B}关于S的闭包{A，B}+ 1、初始化：令集合CLOSURE[Z,S] = {A，B}。 2、进行四次内循环，一次一个函数依赖。第一次循环（对于A→BC ）时发 现它的左边是当前CLOSURE[Z,S]的子集，所以把它右边的属性（B和）C 加入集合CLOSURE[Z,S]，这样集合CLOSURE[Z,S]就变为{A，B，C}。 3、第二次循环（ 对于 E→CF ）发现它的左边不是当前CLOSURE[Z,S]的子 集，因此该结果保持不变。 4、第三次循环（ 对于 B→E ），把E加入集合CLOSURE[Z,S]，这样集合 CLOSURE[Z,S]就变为{A，B，C，E}。 5、第四次循环（ 对于 CD→EF ）结果保持不变。 6、再一次经过四次内循环，第一次循环结果不变，第二次循环结果扩展到 {A，B，C，E，F}，第三次和第四次不变 7、再一次经过四次内循环，集合CLOSURE[Z,S]保持不变，这样，整个过程 结束，结果： {A，B}+ = {A，B，C，E，F}
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
例：设有关系模式R（ABCDE），其函数依赖集F={A→BC，BC→E，E→DA}， 试求此关系的键 A+={A,B,C,E,D} B+={B} C+={C} D+={D} E+={A,D,E,C,B,} AB+={A,B,C,D,E} AC+={A,B,C,E,D} AD+={A,D,B,C,E} AE+={A,E,B,C,D} BC+={B,C,E,A,D} BD+={B,D} BE+={B,E,A,D,C} CD+={C,D} CE+={C,E,A,D,B} DE+={D,E,A,D,C}
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
三、函数依赖集的闭包（CLOSURE）
有些函数依赖蕴涵另一些函数依赖， 如： {ID，Course} →{Name，Grade}蕴涵下面的函数 依赖： {ID，Course} →{Grade} {ID，Course} →{Name} 函数依赖集S所蕴涵的函数依赖全体称为函数 依赖集S的闭包S+。
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
3、A→BC，C→AD A+={A,B,C,D} B+={B} C+={A,B,C,D} D+={D} AB+={A,B,C,D} AC+={A,B,C,D} AD+={A,B,C,D} BC+={A,B,C,D} BD+={B,D} CD+={A,B,C,D}
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
设A、B、C和D是给定的关系变量R的属性集的任 意子集，并把A和B的并集记为AB，则： Armstrong公理 1、自反律：如果B是A的子集，则A→B 2、增广律：如果A→B，则AC→BC 3、传递律：如果A→B，B→C，则A→C 4、自含规则：A→A 5、分解规则：如果A→BC，则A→B，则A→C 6、合并规则：如果A→B且A→C，则A→BC 7、复合规则：如果A→B且C→D，则AC→BD Darwen通用一致性定理 8、通用定理：如果A→B且C→D，则A∪（C-B）→BD
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
8、AB→C，AB→D，C→A，D→B A+={A} B+={B} C+={A,C} D+={B,D} AB+={A,B,C,D} AC+={A,C} AD+={A,B,C,D} BC+={A,B,C,D} BD+={B,D} CD+={A,B,C,D}
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
例：设A、B、C、D、E和F是给定的关系变量R 的属性，R满足下列函数依赖： A→BC B→E CD→EF 证明AD→F ∴ ∵ ∵ ∴ ∵ ∵ A→BC A→C AD→CD CD→EF AD→EF AD→F （给定） （分解规律） （增广律） （给定） （传递律） （分解规律）
第五章、函数依赖（Functional Dependency ） 数据库逻辑设计的任务：
如果要把一组数据储存在数据库中，该如何 为这些数据设计一个合理的逻辑结构，即如何决 定存在那些关系变量，每个关系变量中应该有那 些属性，每个属性的类型及值域。
数据库逻辑设计的目标：
数据库设计首先是得到一个正确的数据结构 保证数据的完整性 应具有应用独立性
数据库原理 85 80 英语 数据库原理 80 78 英语
英语
90
数据库原理 90 90 专业外语
No FD
{ID} →{Grade} {Grade} →{ID} {Name} →{ID} {Name} →{Grade}
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
二、平凡的函数依赖、非平凡的函数依赖
一个不可能不满足的函数依赖称为平凡的函 数依赖，如{ID，Course} →{ID}，事实上，当 且仅当函数依赖的右边是左边的子集时，该函数 依赖才是平凡的函数依赖。 平凡的函数依赖并没有实际意义，只有非平 凡的函数依赖才和真正的完整性约束条件相关。
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第五章、函数依赖（Functional Dependency ）
结论1：给定一个函数依赖集S，可以方便地判断 函数依赖X→Y是否可以从S中导出，因为当且仅当Y是 属性集X关于S的闭包的子集时， X→Y才能由S中导出 ，该方法不必精确计算S+就能判断函数依赖X→Y是否 属于函数依赖集S的闭包S+。