2

2 X RX 0 3
1 1
rX 1 ( )
1 0 0
1
2 RX 1 ( ) m X 1 2 X
1
e
2
rX ( )d e d
2 0
因此，Z(t)是宽平稳的。
E Z 3 t E X sin t Y cost


3


3EXY sin t cos t EX EY 2 EXY EX Y 0
2 2
3 3 2 2
E X 3 sin 3 t E Y 3 cos3 t 3E X 2Y sin 2 t cost
宽平稳随机过程
二维概率密度仅 与时间间隔有关 相关函数仅与时 间间隔有关 均值与时间无关，相关函 数仅与时间间隔有关
5.1.5 平稳过程的相关系数和相关时间
相关系数
2 CX ( ) RX ( ) mX rX ( ) 2 CX (0) X
此值在[－1，1]之间。
rX ( ) 1
f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
f X (x ， ， ， 1 x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x 1 x2 ;0, t 2 t1 ) f X ( x 1 x2 ; )
mX mX1 mX 2 10 E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2 2 X RX (0) mX 300 100 200
严平稳随机过程
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
一维概率密度 与时间无关 均值、均方值、 方差及 E[ X k (t )] 与时间无关
k (1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )] 与时 间t无关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相 同的统计特性。
5.1.2 宽平稳随机过程 若随机过程 X(t)满足
mX (t ) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
例4：已知平稳随机过程 X1(t)的自相关函数为 R X ( ) 3e
1 2
2
2 e 1 平稳随机过程 X2(t)的自相关函数为 RX ( ) X
求它们的相关系数和相关时间 X d 0 解：
由 R X 1 ( ) 3e 知 mX 0 1
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
除Guass SSS 二阶矩过程 WSS
二阶矩过程 SSCS WSCS
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2 10cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。


5.1.3 循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
2 (t ) E[ X 2 (t )]
X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则
此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平 稳与宽平稳等价。
平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移 动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻 的影响； 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号； 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中； 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
方差
协方差
RX (0) RX ()
2 X
CX ( ) RX ( ) RX ()
例3：已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为 RX(τ)=100e-10| τ |+100cos10 τ +100 求X(t)的均值、均方值和方差。 解：RX(τ)=（100cos10 τ ）+（100e-10| τ |+100） = RX1(τ)+ RX2(τ) 式中，RX1(τ)=100cos10 τ是X(t)中周期分量的自相关 函数，此分量的均值mx1=0; RX2(τ)=100e-10| τ |+100是 X(t)的非周期分量的自相关， 由性质4，可得 mX 2 RX 2() 10 所以有
E[ X (t )] x1 f X ( x1 )dx1 mX

2 E[ X (t )] x12 f X ( x1 )dx1 X 2

t1
t
2 D[ X (t )] ( x1 mX )2 f X ( x1 )dx1 X

严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关
RX ( ) RX ( ) ，同理可得 CX ( ) CX ( ) 。
证明：
RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
2) 平稳过程的均方值就是自相关函数在
0 时的值
RX (0) E[ X (t )]
rX ( ) 0
表示不相关
表示完全相关
表示正相关，即两个不同时刻起伏值符号相同可能性大。
相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个 不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。 (1) 相关系数从最大值 1 下降至 0.05 时所经历的时间间 隔 ，记做相关时间, 即:
rX ( 0 ) 0.05
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。 解：
mZ (t ) EZ t EX sin t Y cost

2 lim RX ( ) RX () mX
7) 自相关函数必须满足 并对所有的ω成立。即自相关函数在整个频



RX ( )e
j
d 0
率轴上是非负值的。限制了自相关函数图形
不能有平顶、垂直边或幅度上的不连续
数学期望
均方值
mX RX ()
E[ X 2 (t )] RX (0)
E Z 3 t 2 sin 3 t cos3 t



因此，Z(t)不是严平稳的。
例2. 设随机过程X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元随机变 量，且E[A]=E[B]=0，D[A]=D[B]=10，E[AB]=0，试分别讨论 X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性。 解：
2
3) 平稳过程自相关函数的最大值在 0 处，
RX (0) RX ( ) ，同理可得 CX (0) CX ( )
证明：
E[ X (t ) X (t ) ] 0
2
E[ X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t )] 0 2 RX (0) 2 RX ( ) 0 RX (0) RX ( )
影面积( rX ( ) 积分的一半）来定义相关时间，即 物理意义
(2)用钜形（高为 rX (0) 1 ,底为 0 的矩形）面积等于阴
0 rX ( )d
0
相关时间 0 越小，就意味着相关系数rX ( )随 增加而降 0 落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越大，则表示随机过程随时间变化越慢。
平稳随机过程与各态历经过程
2015/10/22
1
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的主要特征：过程的统计特性不随时间改变。 实际问题多为非平稳过程，为何单独要研究平稳过程？ * 平稳随机过程分析方法简单，对于平稳随机过程已建立起 了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。
* 实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下
t
则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机过程 。 严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
(2) 一、二维概率密度及数学特征
严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关
f X ( x1; t1 ) f X ( x1; t1 )
t1
t1
f X ( x1; t1 ) f X ( x1; t1 ) f X ( x1;0) f X ( x1 )
RZ (t1 , t2 ) EZ t1 Z t2 E X sin t1 Y cost1 X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
4) 周期为T的平稳过程 函数也是周期为T的函数
X (t ) X (t T ) ，其自相关
RX ( ) RX ( T )