例
已知线性定常系统{A,B }为
0 0 0 1 1 6 0 x 0 u ； x 0 1 12 0
求反馈向量K，使系统的闭环特征值为 1 2 , 2, 3 1 j 。 解： (s) (s 2)( s 2 2s 2) s 3 4s 2 6s 4； K [k1 k 2 k3 ]；
k3 s k1 k 2 ( s) det 1 s 6 0 s 3 a2 s 2 a1s a0 ； 0 1 s 12
(s) (s k1 )( s 6)( s 12) k3 k 2 (s 12)
s (k1 18 )s (18 k1 k 2 72 )s 72 k1 12 k 2 k3 ；
定理：输出反馈不改变系统可控性可观性。 证明：可控性不变
U PBH
0 In ； (s I A) B (s I A BFC ) B FC I p rank [ (s I A B FC ) B ] rank U PBH
Iq 0 C C ； s I A BF I n s I A BFC
☆ 完全可控系统极点配臵的规范计算方法
(1) 计算A的特征多项式:
(2) 计算期望的特征多项式:
(3) 计算(可控标准型)反馈矩阵 :
(4) 计算变换矩阵P:
1 1 n 1 n 1 P [A b Ab b] 1 n 1 1
在控制理论中，反馈结构是系统设计
的主要方式。对输入输出模型，只能采用
输出反馈；因状态空间模型能够提供系统
内部的状态信息，所以，能够采用状态反
馈，对系统进行更细致的控制。
系统的综合：已知系统的结构和参数， 设计控制规律u，使系统在其作用下的行为
满足所给出的期望的性能指标。
性能指标可分为非优化型性能指标和 优化型性能指标。
an 2
0 0 0 1 0 ；b P b ； 1 0 an1 1
引入状态反馈： u v kx v kPx v kx 其中：
k k P 1
1 0 0 0 1 0 A bK 0 0 a k a k a k 1 2 2 3 0 1 则闭环系统特征多项式为
1.5.1 常用反馈结构及其对系统特性的影响
一 两种常用反馈结构
在系统的综合设计中，常用的反馈形式是状
态反馈和输出反馈。
1 状态反馈
A x B u ；y C x ； 设系统为 x
引入状态的线性反馈 u v K x 。
式中
v是参考输入；K∈Rp×n是定常反馈矩阵。
状态反馈系统的结构图
能否找到状态反馈矩阵K，使闭环特征值配臵到 下列位臵：{-2，-2，-1，-1}； {-2，-2，-2，-1}； {-2，-2，-2，-2}。 提示：对系统作可控性结构分解，得到系统有一 个不可控特征值-1。
2 单输入系统的极点配臵算法
给定可控系统(A,b,c)和一组期望的闭环特征 值 , 要确定(1×n)维的反馈增益向量k, 。
第1章 线性系统的时间域分析： 状态空间法
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 系统的数学描述 线性系统的运动分析 － 线性系统的能控性和能观性 系统运动的稳定性 线性反馈系统的时间域综合
1.5 线性反馈系统的时间域综合
1.5.1 常用反馈结构及其对系统特性的影响
1.5.2 系统的极点配臵
1.5.3 状态反馈动态解耦 1.5.4 状态观测器及其设计
1
det (s I A BK ) det (s I A B K )
det (s I r A c Bc K c ) det (s I n-r A c )；
K K P；K K P 1；
即状态反馈K不能改变不可控极点，使闭环系统 稳定的必要条件是不可控部分是渐近稳定的。
对于线性定常受控系统
如果可以找到状态反馈控制律 使得通过反馈构成的闭环系统 是渐近稳定的，即（ A-BK ）的特征值均具有负 实部，则称系统实现了状态反馈镇定。 定理：当线性定常系统的 不可控 部分渐近稳定 时，系统是状态反馈可镇定的。
证明：设系统{A, B }不完全可控，其结构分解为
Ac A12 Bc 1 A P AP ；B P B ； 0 0 A c 对于任意的状态反馈矩阵 K [ K c K c ]，得到
得到n个简单的代数方程，即可计算出可控标准 1 形的状态反馈矩阵，进而得到 K KP 。
必要性：已知极点可任意配臵，欲证（A,b）可控。
反证法。如果系统（A, b）不可控，说明系统的有些状
态将不受u的控制，则引入状态反馈时就不可能通过控
制 k 来影响不可控的极点。
参考题
设不完全可控系统{A, B}为 2 1 0 0 0 0 2 0 0 x 1 u ； x 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1
3 2
(s) s 3 4 s 2 6 s 4；
k1 18 4； 18 k1 k 2 72 6；
72 k1 12 k 2 k3 4；
k1 14；
k 2 186；
k3 1220 ；
K [ 14 186 1220 ]；
u r K x r 14 x1 186 x2 1220 x3 ；
2 输出反馈
引入输出向量的线性反馈
u v F y v FC x
F是p×q维实反馈增益矩阵。
输出反馈系统的结构图
v
+
u -
B
+
x
+
∫
A F
x
Cห้องสมุดไป่ตู้
y
输出反馈(闭环)系统的状态空间描述为
( A BFC ) x B v；y C x ； x
( s) det (s I A B FC )； 传递函数矩阵： GF (s) C (sI A BFC ) 1B；
一 单输入系统的极点配臵
1 极点可配臵条件
定理1 对n阶单输入线性定常系统，通过
状态反馈，实现系统全部n个极点任意配臵的充 要条件是系统状态完全能控。 证明：设系统{A, b}完全可控，其可控标准形为
1 0 0 0 1 A P AP 0 0 a0 a1 0 1 0
(5) 计算原系统的反馈增益阵：
k k P 1
例
已知线性定常系统{A,B }为
0 0 0 1 1 6 0 x 0 u ； x 0 1 12 0
求反馈向量K，使系统的闭环特征值为 1 2 , 2, 3 1 j 。 解：(1) 判断系统的能控性
v
+
u -
B
+
x
+
∫ A K
x
C
y
状态反馈(闭环)系统的状态空间描述为
( A BK ) x B v；y C x ； x
特征多项式： (s) det (s I A B K )；
1 G ( s ) C ( s I A BK ) B； 传递函数矩阵： K
状态反馈改变系统的极点(特征值)，若发生 零点与极点抵消情况，则改变系统的可观性。
例：可控可观测系统 1 2 0 x x u ，y 1 1x ； 0 3 1
s 1 G( s) ； ( s 1)( s 3) 若采用的状态反馈是 u r K x r [0 4] x； 闭环系统的系统矩阵为 1 2 0 1 2 ； A BK 0 4 0 3 1 0 1
0 ； 0 0 1 a n1 k n
det (sI A BK ) det (sI A B K )
s n (k n an1 )s n1 (k 2 a1 )s (k1 a0 )；
据期望极点 1* , 2* , n* ，得到期望特征多项式
使闭环系统矩阵(A-bk)的特征值为
☆通用的计算方法(※)：
设 (1) 计算期望的特征多项式：
(2) 用待定系数计算闭环系统的特征多项式：
(3) 由下列n个方程计算反馈矩阵k的元素：
注意：系统完全可控，单输入系统的极点配臵有
唯一解；系统不完全可控，若期望极点中包含所
有不可控极点，极点配臵有解，否则无解。
(s) (s )(s )(s n ) n n1 s an1s a1s a0 ；
* * 1 * 2 *
由闭环特征多项式与期望特征多项式相等
det (sI A BK ) det (sI A B K ) (s)，
ki ai 1 ai , i 1, 2, n；
二 反馈结构对系统性能的影响
1 对系统的可控性和可观测性的影响 定理：状态反馈不改变系统的可控性，但可能改 变系统的可观测性。 证明：可控性不变 In 0 ； U PBH [(s I A) B ] [( s I A BK ) B ] K I p
rank [(s I A BK ) B ] rank U PBH 。
可观性不变
VPBH
C rank rank VPBH 。 s I A BFC
2. 反馈结构对系统稳定性的影响
状态反馈和输出反馈都改变系统的特征值， 故都影响系统的稳定性。 镇定：加入反馈，使得通过反馈构成的闭环系统 成为稳定系统，称之为镇定。 可镇定性：如果采用反馈措施能够使闭环系统 稳定，称该系统是反馈可镇定的。 由于状态反馈具有许多优越性，而且输出反 馈总可以找到与之性能等同的状态反馈系统，故 在此只讨论状态反馈的可镇定性问题。