ap
于是
a1a1 a1a2 L a1a p 1
0
a2 a1
a2 a1
L
a2a
p
1
M M
M
O
apa1
apa1
L
ap
a
p
0
1
故有
aia j
1, 0,
若i j 若1 i j p
即a1,a2,⋯,ap为一组正交单位向量。同理，由AA′=I 可证a(1),a(2),⋯,a(p)也是一组正交单位向量。
➢ 当p=2时，按逆时针方向将直角坐标系x1Ox2旋转一个角度θ ，所得新坐标系y1Oy2与原坐标系之间的变换为
y
y1 y2
cos sin
sin cosx1 x2 NhomakorabeaAx
当p=3时同样有着直观的几何展示。
❖ 由于
y′y=(Ax)′(Ax)=x′A′Ax=x′x
故在新、旧坐标系下，该点到原点的距离保持不变。
❖ 若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22,⋯,app称为它的对 角线元素，其他元素aij(i≠j)称为非对角线元素。
❖ 若方阵A的对角线下方的元素全为零，则称A为上三 角矩阵。显然，aij=0,i>j。
❖ 若方阵A的对角线上方的元素全为零，则称A为下三 角矩阵。显然，aij=0,i<j。
❖ 若方阵A的所有非对角线元素均为零，则称A为对角 矩阵，简记为A=diag(a11,a22,⋯,app)。
§2.3 行列式
❖ p阶方阵A=(aij)的行列式定义为
A
1 j1 j2L jp a a 1j1 2j2 L a pjp
j1 j2L jp
这里 表示对1,2,⋯,p的所有排列求和，τ(j1j2⋯jp) j1 j2L jp
是排列j1,j2,⋯,jp中逆序的总数，称它为这个排列的逆 序数，一个逆序是指在一个排列中一对数的前后位
❖ 若p阶对角矩阵A的所有p个对角线元素均为1，则称 A为p阶单位矩阵，记作A=Ip或A=I。
❖ 若将矩阵A的行与列互换，则得到的矩阵称为A的转 置，记作A′，即
a11 a21 L
A
a12
a22
L
M M
a1q
a2q
L
ap1
a
p
2
M
a pq
❖ 若方阵A满足A′=A，则称A为对称矩阵。显然， aij=aji。
A22C22
❖ 例2.2.2 用矩阵分块方法证明正交矩阵A：p×p的p 个列向量和p个行向量都是一组正交单位向量。
➢ 证明 将矩阵A分别按列向量和行向量分块，并记
由A′A=I，得
a1
A
a1, a2 ,L , a p
a2 M
ap
a1
a2
M
a1, a2 ,L
,ap
I
k1
运算规律
❖ (1)(A+B)′=A′+B′。
❖ (2)(AB)′=B′A′。
❖ (3)A(B1+B2)=AB1+AB2。
❖ (4)
A
k
Bi
k
ABi 。
i1 i1
❖ (5)c(A+B)=cA+cB。
❖ 若两个p维向量a和b满足
a′b=a1b1+a2b2+⋯+apbp=0 则称a和b正交。几何上，正交向量之间相互垂直。
正交矩阵A的几何意义
❖ 将p维向量x看作是在Rp中的一个点，则x的各分量是该点在 相应各坐标轴上的坐标。正交阵A的行列式非1即−1。若 |A|=1，则正交变换y=Ax意味着对原p维坐标系作一刚性旋转( 或称正交旋转)，y的各分量正是该点在新坐标系下的坐标； 若|A|=−1，则包含了一个反射的坐标轴。
C
C11
C
21
C12
C
22
其中C11：l×m，C12：l×(r−m)，C21：(q−l)×m， C22：(q−l)×(r−m)，则有
AC
A11 A21
A12 C11
A22
C21
C12
C
22
A11C11 A21C11
A12C21 A22C21
A11C12 A12C22
A21C12
p
❖ 若方阵A满足AA′=I，则称A为正交矩阵。显然， ai2j 1，
p
j 1
i=1,2,⋯,p，即A的p个行向量为单位向量； aijakj 0, i k，
j 1
p
p
即A的p个行向量相互正交。又从A′A=I得： ai2j 1, aijakj 0
i 1
i 1
(j≠k)，即A的p个列向量也是一组正交单位向量。
§2.2 矩阵的运算
❖ 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：p×q,则A与B的和定义为 A+B=(aij+bij)：p×q
❖ 若c为一常数，则它与A的积定义为
cA=(caij)：p×q ❖ 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：q×r,则A与B的积定义为
AB
q
aikbkj ：p r
矩阵的分块
❖ 设A=(aij)：p×q,将它分成四块，表示成
A
A11 A21
A12
A22
其中A11：k×l，A12：k×(q−l)，A21：(p−k)×l，
A22：(p−k)×(q−l)。
❖ 若A和B有相同的分块，则
A
B
A11 A21
B11 B21
A12 B12
A22
B22
❖ 若C为q×r矩阵，分成
§2.1 定义
p×q矩阵：
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
a
p1
ap2
L
a1q
a2q
M
a
pq
a1
p维列向量：
a
a2
M
a
p
q维行向量： a′=(a1,a2,⋯,aq)
向量a的长度：a aa a12 a22 L a2p 单位向量： a 1
❖ 若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作 A=0pq或A=0。
则所得行列式不变。
❖ (8)若A的某一行(或列)是其他一些行(或列)的线性组 合，则行列式为零。
❖ (9)若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则
p
A aii i1
❖ (10)若A和B均为p阶方阵，则|AB|=|A||B|。 ❖ (11)|AA′|≥0。 ❖ (12)若A与B都是方阵，则
置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数。例
如，τ(3142)=1+τ(1342)=3+τ(1234)=3。
行列式的一些基本性质
❖ (1)若A的某行(或列)为零，则|A|=0。 ❖ (2)|A′|=|A|。 ❖ (3)若将A的某一行(或列)乘以常数c，则所得矩阵的
行列式为c|A|。 ❖ (4)若A是一个p阶方阵，c为一常数，则|cA|=cp|A|。 ❖ (5)若互换A的任意两行(或列)，则行列式符号改变。 ❖ (6)若A的某两行(或列)相同，则行列式为零。 ❖ (7)若将A的某一行(或列)的倍数加到另一行(或列)，