实验3 离散LSI 系统的频域分析一、实验目的：1、加深对离散系统变换域分析——z 变换的理解，掌握使用MA TLAB 进行z 变换和逆z 变换的常用函数的用法。
2、了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系，熟悉使用MATLAB 进行离散系统的零极点分析的常用函数的用法。
3、加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解，掌握使用MATLAB 进行离散系统幅频响应和相频响应特性分析的常用方法。
二、实验原理1、z 变换和逆z 变换（1）用ztrans 函数求无限长序列的z 变换。
该函数只给出z 变换的表达式，而没有给出收敛域。
另外，由于这一函数还不尽完善，有的序列的z 变换还不能求出，逆z 变换也存在同样的问题。
例7-1 求以下各序列的z 变换x 1(n)=a n x 2(n)=n x 3(n)=n(n-1)/2 x 4(n)=e j ωonx5(n)=1/[n(n-1)]程序清单如下： syms w0 n z a; x1=0;X1=ztrans(x1) x2=sin(w0*n);X2=ztrans(x2)x3=exp(-a*n)*sin(w0*n);X3=ztrans(x3) 程序运行结果如下： X1 =z/a/(z/a-1) X2 =z/(z-1)^2X3 =1/2*z*(z+1)/(z-1)^3-1/2*z/(z-1)^2 X4 =z/exp(i*w0)/(z/exp(i*w0)-1) X5 =z/(z-1)-ztrans(1/n,n,z)（2）用iztrans 函数求无限长序列的逆z 变换。
例3-2 求下列函数的逆z 变换。
课程名称 数字信号处理 实验成绩 指导教师实 验 报 告院系 信息工程学院 班级 13普本测控 学号 姓名 日期 2016.4.18程序清单如下：syms n z a;X1=z/(z-a);x1=iztrans(X1)X2= z/(z-a)^2;x2=iztrans(X2)X3=z/[z-exp(j*w0)];x3=iztrans(X3)X4=(1-z^-3)/(1-z^-1);x4=iztrans(X4)程序运行结果如下：x1 =1x2 =a^n*nx3 =1/2*n^2-1/2*nx4 =iztrans((1-z^(-n))/(1-1/z),z,n)2、离散系统的零极点分析（系统极点位置对系统响应的影响）例3-3 研究z右半平面的实数极点对系统的影响。
已知系统的零极点增益模型分别为：求这些系统的零极点分布图以及系统的单位序列响应，判断系统的稳定性。
程序清单如下：z1=[0]';p1=[0.85]';k=1;[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);title('极点在单位圆内');subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20);z2=[0]';p2=[1]';[b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k);subplot(3,2,3);zplane(z2,p2);title('极点在单位圆上');subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20);z3=[0]';p3=[1.5]';[b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k);title('极点在单位圆外');subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);程序运行结果如图3-1所示。
由图可见，这三个系统的极点均为实数且处于z平面的右半平面。
由图可知，当极点位于单位圆内，系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛；当极点位于单位圆上，系统的单位序列响应为等幅振荡；当极点位于单位圆外，系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。
由此可知系统1、2为稳定系统。
-202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆内0510150.51n (samples)Amplitude-202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆上0510150.51n (samples)AmplitudeImpulse Response-202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆外20004000n (samples)AmplitudeImpulse Response图3-1例3-4 研究z左半平面的实数极点对系统的影响。
已知系统的零极点增益模型分别为：求这些系统的零极点分布图以及系统的单位序列响应，判断系统的稳定性。
程序清单如下：z1=[0]';p1=[-0.85]';k=1;[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);title('极点在单位圆内');z2=[0]';p2=[-1]'; [b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k); subplot(3,2,3);zplane(z2,p2); title('极点在单位圆上'); subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20); z3=[0]';p3=[-1.5]'; [b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k); subplot(3,2,5);zplane(z3,p3); title('极点在单位圆外'); subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);程序运行结果如图3-2所示。
由图可见，这三个系统的极点均为实数且处于z 平面的左半平面。
由图可知，当极点位于单位圆内，系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛；当极点位于单位圆上，系统的单位序列响应为等幅振荡；当极点位于单位圆外，系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。
由此可知系统1、2为稳定系统。
-202-101Real PartI m a g i n a r y P a r t极点在单位圆内51015n (samples) A m p l i t u d eImpulse Response-202-101Real PartI m a g i n a r y P a r t极点在单位圆上n (samples) A m p l i t u d e-202-101Real PartI m a g i n a r y P a r t极点在单位圆外051015n (samples)A m p l i t u d eImpulse Response图3-2例3-5 研究z 右半平面的复数极点对系统响应的影响已知系统的零极点增益模型分别为：求这些系统的零极点分布图以及系统的单位序列响应，判断系统的稳定性。
程序清单如下：z1=[0.3,0]';p1=[0.5+0.7j,0.5-0.7j]';k=1;[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);title('极点在单位圆内');subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20);z2=[0.3,0]';p2=[0.6+0.8j,0.6-0.8j]';[b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k);subplot(3,2,3);zplane(z2,p2);title('极点在单位圆上');subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20);z3=[0.3,0]';p3=[1+j,1-j]';[b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k);subplot(3,2,5);zplane(z3,p3);title('极点在单位圆外');subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);程序运行结果如图3-3所示。
由图可见，这三个系统的极点均为复数且处于z平面的右半平面。
由图可知，当极点位于单位圆内，系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛；当极点位于单位圆上，系统的单位序列响应为等幅振荡；当极点位于单位圆外，系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。
由此可知系统1、2为稳定系统。
-202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆内051015-11n (samples)AmplitudeImpulse Response -202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆上051015-22n (samples)AmplitudeImpulse Response -202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆外051015-500500n (samples)AmplitudeImpulse Response图3-3由以上三例可得结论：系统只有在极点处于单位圆内才是稳定的。
例3-6 已知某离散时间系统的系统函数为求该系统的零极点及零极点分布图，并判断系统的因果稳定性。
程序清单如下：b=[0.2,0.1,0.3,0.1,0.2];a=[1,-1.1,1.5,-0.7,0.3];rz=roots(b)rp=roots(a)subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('系统的零极点分布图');subplot(2,1,2);impz(b,a,20);title('系统的单位序列响应');xlabel('n');ylabel('h(n)');程序运行结果如下：rz =-0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682i rp =0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i-3-2-10123-1-0.500.51Real PartI m a g i n a r y P a r t系统的零极点分布图24681012141618-0.200.20.40.6n h (n )系统的单位序列响应图3-4由零极点分布图可见，该系统的所有极点均在单位圆内，因此该系统是一个因果稳定系统。
3、离散系统的频率响应（1）离散系统的频率响应的基本概念 已知稳定系统传递函数的零极点增益模型为则系统的频响函数为其中，系统的幅频特性为系统的相频特性为由以上各式可见，系统函数与频率响应有着密切的联系。
适当地控制系统函数的零极点分布，可以改变离散系统的频响特性：①在原点（z=0）处的零点或极点至单位圆的距离始终保持不变，其值|e jω|=1，所以，对幅度响应不起作用；②单位圆附近的零点对系统幅度响应的谷值位置及深度有明显影响；③单位圆内且靠近单位圆附近的极点对系统幅度的峰值位置及大小有明显的影响。