Minz 10x1 4x2
0.1x1 0x2 0.4
s.t
.
00.x11x1
0.1x2 0.2x2
0.6 2.0
0.2
x1
0.1
x
2
1.7
x1, x2 0
线性规划模型的一般形式：以MAX型、 约束
为例
决策变量： x1, , xn
目标函数： Maxz c1 x1 cn xn
先做直线9x1 4x2 360,用两点连线方法（令 x1 0,则x2 90,再令x2 0,则x1 40,于是该直线过 点（0，90）、（40，0））；
再确定不等式9x1 4x2 360表示上述直线的哪 半平面，可用代入点的方法（如把原点（0，0）代入 不等式，满足，说明原点所在的半平面即该不等式 所表示的区域）。
约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的约 束，和产量非负的约束，表示为
9 x1 4 x2 360
s.t
.
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x1, x2 0
解：设安排甲、乙产量分别为 x1, x2,总收 入为 z，则模型为：
Maxz 7x1 12x2
9 x1 4 x2 360
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的 总面积为最大，求建造方案。
解: 设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各
为 x1, x2, x3,z 为总面积,则本问题的数学模型为:
Maxz x1 x2 x3
0.105x1 0.135x2 0.120x3 110000
0.012x1 0.030x2 0.025x3 20000
AX b
s.t
.
X
0
回顾例1.1的模型
其中
X ( x1, x2 )T 表示决策变量的向量； C (7,12) 表示产品的价格向量；
b (360,200,300)T 表示资源限制向量；
9 4
A
4 3
5 10
表示产品对资源的单耗系数矩阵。
一般地
Maxz CX
AX b
s.t
.
X
资源单耗 产品 甲 乙
资源 煤 电 油
9
4
4
5
3 10
单位产品价格
7
12
资源限量
360 200 300
试拟订使总收入最大的生产计划方案。
线性规划模型的三要素
1）决策变量：需决策的量，即待求的未 知数； 2）目标函数：需优化的量，即欲达的目 标，用决策变量的表达式表示； 3）约束条件：为实现优化目标需受到的 限制，用决策变量的等式或不等式表示。
取A、B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料 有M、N两种。有关数据如下：
售价（元
/公斤）
每公斤含营养成分
A
B
C
D
M
10 0.1
0
0.1 0.2
N
4
0
0.1 0.2
0.1
牲畜每日每头需要量 0.4 0.6 2.0
1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的 总费用为最少？
解：设购买M、N饲料各为 x1, x2，则
约束条件： a11 x1 a1n xn b1
s.t . am1 x1
amn xn b
m
x1
,
, xn 0
模型一般式的矩阵形式
记 X ( x1, , xn )T ,C (c1, ,cn ), A (aij )mn ,b (b1, ,bm )T
则模型可表示为 Maxz CX
0.110x1 0.190x2 0.180x3 150000
s.t
0.210
x1
147000
0.0045x1 0.003x2 0.0035x3 4000 x1, x2, x3 0
前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上
述模型，共用了12个变量，10个约束条件。
练习：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获
例1.1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 产品 甲 乙
资源 煤 电 油
9
4
4
5
3 10
单位产品价格
7
12
资源限量
360 200 300
试拟订使总收入最大的生产计划方案。
在本例中
决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为 x1, x2；
目标函数：总收入记为 z ,则 z 7x1 12x2 ,为体 现对其追求极大化，在 z 的前面冠以极大号Max；
图解法步骤
1.做约束的图形
x2
先做非负约束的图形；
再做资源约束的图形。
以例1.1为例，其约束为
9 x1 4 x2 360
s
.t
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x1, x2 0
x1
问题：不等式的几何意义是什么？怎样做图？
如9 x1 4 x2 360，它表示以9 x1 4 x2 360为边界的 一个半平面。因此，它的做图方法是：
s.t
.
4 3
x1 x1
5x2 1规划模型的一个基本特点： 目标和约束均为变量的线性表达式。
如果模型中出现如
x12
2 ln
x2
1 x3
的非线性表达式，则不属于线性规划。
例1.2 某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住 宅体系可以大量兴建，各体系资源用量及今 年供应量见下表：
第一章 线性规划
1.1 线性规划的模型与图解法 1.2 单纯形法 1.3 对偶问题与灵敏度分析 1.4 线性整数规划 1.5 运输问题
1.1 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解 决：如何合理地利用有限的资源，以得到 最大的效益。
例1.1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源 造价 钢材 水泥 砖 人工
住宅体系 (元/m2) (公斤/m2) (公斤/m2) (块/m2) (工日/m2)
砖混住宅 105
12
110
210
4.5
壁板住宅 135
30
190
——
3.0
大模住宅 资源限量
120
110000 (千元)
25
20000 (吨)
180
150000 (吨)
——
3.5
147000 4000 (千块) (千工日)
0
中 X 称为决策变量向量，C 称为价格系数向量,
A称为技术系数矩阵, b 称为资源限制向量。
问题：为什么 A 称为技术系数矩阵？
二、线性规划问题的图解法
图解法是用画图的方式求解线性规划的一 种方法。它虽然只能用于解二维（两个变 量）的问题，但其主要作用并不在于求解， 而是在于能够直观地说明线性规划解的一 些重要性质。