3.2.2 赤池信息准则和施瓦茨准则
为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准
还有赤池信息准则 （ Akaike information criterion,AIC ） 和施瓦茨准则 （
Schwarz criterion,SC）,其定义分别为
这两个准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少AIC或SC值时才能在原 模型中增加该解释变量。
借助于计量经济软件EViews对表3.1.1中的样本回归方程作F检验。
F 统计量的值： F =146.2973 ， n =18 ， n-k-1=18-2-1=15 ，在 5% 的显著性
水平下，查自由度为(2，15)的F分布表，得临界值
3.2.4 回归参数的显著性检验：t检验
回归参数的显著性检验，目的在于检验当其他解释变量不变时，该回归系数 对应的解释变量是否对因变量有显著影响。 由参数估计量的分布性质可知，回归系数的估计量服从如下正态分布：
3.2.3 偏相关系数
3.2.3 回归模型的总体显著性检验：F检验
回归模型的总体显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间 的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。 检验模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成 立，即是检验方程：
图3.2.1 阴影部分为F检验的否定区域
F 检验的具体步骤为：
一般地，估计线性模型时可对模型参数施加若干个线性约束条件。例如， 对模型
其中
式中第二项为一非负标量，于是
式(3.5.9)表明受约束样本回归模型的残差平方和大于无约束样本回归模型
的残差平方和，这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的解 释能力。
约束条件的个数。
表3.5.1 无约束条件的C-D生产函数估计结果
内容：
(1)残差分布表中，各期残差是否大都落在±的虚线框内，这直观地 反映了模型拟合误差的大小及变化情况。 (2)残差分布是否具有某种规律性，即是否存在着系统误差。 (3)近期残差的分布情况。 另外，利用判定系数比较模型的拟合优度时，如果两个模型包含的解 释变量个数不同，则应采用“调整的判定系数”。 除了调整的判定系数之外，人们还使用另外两个指标 SC （ Schwarz Criterion ，施瓦兹准则）和 AIC(Akaike lnformation Criterion ，赤池 信息准则)来比较含有不同解释变量个数模型的拟合优度。
多重决定系数或决定系数是指解释变差占总变差的比重，用来表述解
释变量对被解释变量的解释程度：
2．修正的决定系数
（1）用自由度调整后，可以消除拟合优度评价中解释变量多少对决定系数计 算的影响； （2）对于包含的解释变量个数不同的模型，可以用调整后的决定系数直接比 较它们的拟合优度的高低。
修正的决定系数与未经修正的多重决定系数之间有如下关系：
在 EViews 软 件 中 ， 要 检 验 冗 余 变 量 ， 选 择 Equation 工 具 栏 中 的
View\Coefficient Test\Redundant Variable 功能。在对话框中输入需要 检验的变量。 Testadd 检验用于在方程中检验引入新的解释变量，检验引入引入新 的解释变量是否对模型有利。要检验缺失变量，选择Equation工具栏中的 View\Coefficient Test\Omitted 验的变量。 Variable功能。在对话框中输入需要检
图3.5.1 Wald检验定义对话框
在对话框中输入系数的约束条件，若有多个，则用逗号分开。本例中 输入：C（2）+C（3）=1，得检验结果见表3.5.3。 表3.5.3 Wald检验输出结果
由表3.5.3可知，在0.05显著性水平下，两个检验均仍然不能拒绝和为 1的原假设，原假设为真。这个结果与直观判断差异明显，主要是因为变量 LOG（L）的回归系数标准误差较大。
GDP 4517.8 4862.4 5294.7 5934.5 7171.0 8964.4 10202.2
L 42361 43725 45295 46436 48197 49873 51282
K 910.9 961.0 1230.4 1430.1 1832.9 2543.2 3120.6
年份 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
GDP 11962.5 14928.3 16909.2 18547.9 21617.8 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74462.6 78345.2 82067.5 89442.2 95933.3 102398.0 117251.9
L 52783 54334 55329 63909 64799 65554 66373 67199 67947 68850 69600 69957 71394 72085 73025 73740 74432
借助于计量经济软件EViews对表3.1.1进行分析，具体步骤为 (1)建立工作文件；(2)输入数据；(3)回归分析 表3.1.2 回归结果
2．最小二乘估计量的性质
用最小二乘法得到的多元线性回归的参数估计量具有线性、无偏性、最小 方差性。
3.1.4 随机误差项方差的估计
若记
3.2 多元线性回归模型的检验
将上述过程用矩阵表示如下：
根据矩阵求导法则可得：
例 3.1.1 经过研究，发现家庭书刊消费水平受家庭收入及户主受教
育年数的影响。现对某地区的家庭进行抽样调查，得到样本数据如表3.1.1 所示，其中y表示家庭书刊消费水平(元/年)，x表示家庭收入(元／月)，T 表示户主受教育年数。下面我们估计家庭书刊消费水平同家庭收入、户主受
3.2.1 拟合优度检验
拟合优度是指样本回归直线与观测值之间的拟合程度。 1．多重决定系数
总离差平方和=残差平方和+ 回归平方和 自由度: （n-1）= （n-k-1）+ k ESS：由回归直线（即解释变量）所解释的部分，表示x对y的线性影响。 RSS：是未被回归直线解释的部分，由解释变量x对y影响以外的因素而造成的。
表3.5.2 有约束条件的C-D生产函数估计结果
在EViews软件中，当估计完C-D生产函数后，在方程结果输出窗口，点击View 按 钮 ， 然 后 在 下 拉 菜 单 中 选 择 Coefficient Test\Wald Coefficient Restrictions,屏幕出现图3.5.1对话框。
K 3791.7 4753.8 4410.4 4517.0 5594.5 8080.1 13072.3 17042.1 20019.3 22913.5 24941.1 28406.2 29854.7 32917.7 37213.5 43499.9 55566.6
利用EViews软件解题如下：首先建立工作文件，其次输入样本 数据Q、L、K，再次，在EViews软件的命令窗口，依次键入： GENR lnGDP=LOG(GDP) GENR lnL=LOG(L) GENR lnK=LOG(K)
例3.4.1ຫໍສະໝຸດ 根据表3.4.1给出的1980-2003年间总产出(用国内生产
总值 GDP 度量，单位：亿元 ) ，劳动投入 L( 用从业人员度量，单位 为万人 )，以及资本投入 K( 用全社会固定投资度量，单位：亿元 )。 表3.4.1 1980-2003年中国GDP、劳动投入与资本投入数据
年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
3.3.2 区间预测
3.4 非线性回归模型
3.4.1 可线性化模型
在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可 以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性 回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。 1．对数模型 模型形式：
模型适用对象：对观测值取对数，将取对数后的观测值（lnx，lny）描成散点 图，如果近似为一条直线，则适合于对数线性模型来描述x与y的变量关系。 容易推广到模型中存在多个解释变量的情形。例如，柯布——道格拉斯生产函数 形式：
回归函数的未知参数，就得到多元线性样本回归方程:
它代表了总体变量间的依存规律。
3.1.2
多元线性回归模型的基本假定
假设6： 解释变量之间不存在多重共线性
假设1用矩阵形式表示：
3.1.3 多元线性回归模型的估计
1．参数的最小二乘估计
即:
上述（k+1）个方程称为正规方程。用矩阵表示就是：
LS lnGDP
输出结果如下(表3.4.2)：
C lnL lnK
表3.4.2 回归结果
2．半对数模型
在对经济变量的变动规律研究中，测定其增长率或衰减率是一个重要
方面。在回归分析中，我们可以用半对数模型来测度这些增长率。 模型形式：
3．倒数模型
4．多项式模型
多项式回归模型在生产与成本函数这个领域中被广泛地使用。多项式回归模 型可表示为
教育年数之间的线性关系。
表3.1.1 某地区家庭书刊消费水平及影响因素的调查数据表
t
家庭书刊消费 y 450.0
家庭收入 x 1027.2
户主受教育年数 T 8
507.7
613.9 563.4 501.5 781.5 541.8 611.1 1222.1 793.2 660.8 792.7 580.8 612.7 890.8 1121.0 1094.2 1253.0
1045.2
1225.8 1312.2 1316.4 1442.4 1641.0 1768.8 1981.2 1998.6 2196.0 2105.4 2147.4 2154.0 2231.4 2611.8 3143.4 3624.6