指数分布例题
例10-1：一元件寿命服从指数分布，其平均 寿命(θ)为2000小时，求故障率λ及求可靠度 R (100)=? R(1000)=?
解： 1 1 5 104 (小时) 2000
R(100) e5104100 e0.05 0.95 R(1000) e 51041000 e 0.5 0.60
f (t) et
则称t服从参数λ的指数分布。
(λ＞0，t≥0)
指数分布
则有： 不可靠度 F(t) 1 et

可靠度

故障率 R(t) 1 F (t) et
平均故障间隔时间(t) f (t) / R(t)
MTBF 1
(t≥0) (t≥0)
则称t服从正态分布。
正态分布
则有： 不可靠度

可靠度

故障率
t
F (t) 0
1
(t )2

e 2 2 dt
2
t
R(t) 1
1
(t )2
e 2 2 dt
0 2
(t) f (t)
R(t)
正态分布计算可用数学代换把上式变换成 标准正态分布，查表简单计算,得出各参数值。
(t) f (t)
R(t)
失效概率密度函数
第一节 可靠性概述
失效率曲线
λ(t) 失效率
使用寿命 A
偶然失效期
早期失效期
B 规定的失效率
t时间 耗损失效期
第一节 可靠性概述
故障率曲线分析
“浴盆曲线”。
(a)早期故障期：产品早期故障反映了设计、 制造、加工、装配等质量薄弱环节。早期故障 期又称调整期或锻炼期，此种故障可用厂内试 验的办法来消除。
此元件在100小时时的可靠度为0.95，而在 1000小时时的可靠度为0.60。
指数分布性质
指数分布的一个重要性质是无记忆性。无 记忆性是产品在经过一段时间t0工作之后的剩余 寿命仍然具有原来工作寿命相同的分布，而与t 无关(马尔克夫性)。这个性质说明，寿命分布为 指数分布的产品，过去工作了多久对现在和将 来的寿命分布不发生影响。
第一节 可靠性概述
(b)正常工作期：在此期间产品故障率低而且稳 定，是设备工作的最好时期。在这期间内产品 发生故障大多出于偶然因素，如突然过载、碰 撞等，因此这个时期又叫偶然失效期。
可靠性研究的重点，在于延长正常工作期 的长度。
第一节 可靠性概述
(c)损耗时期：零件磨损、陈旧，引起设备故障 率升高。如能预知耗损开始的时间，通过加强 维修，在此时间开始之前就及时将陈旧损坏的 零件更换下来，可使故障率下降，也就是说可 延长可维修的设备与系统的有效寿命。
规定功能的概率定义为产品的“可靠度”。
用R (t)表示：R (t) = P (T＞t)
其中P (T＞t)就是产品使用时间T大于规定时间t的概率。
可靠度函数具有下述性质： R
① 是非增函数；
② R(0)＝1，R(∞）＝0；
1.0
R(t)
③ 0≤R（t)≤1
0
t
第一节 可靠性概述
若受试验的样品数是N0个，到t时刻未失效 的有N s (t)个；失效的有N f (t)个。则没有失效的 概率估计值，即可靠度的估计值为
当α和β不变时，威布尔分布曲线的形状和尺度都不变， 它的位置随γ的增加而向右移动。
威布尔分布其它一些特点，β ＞1时，表示磨损失效； β =1时，表示恒定的随机失效，这时λ 为常数；β ＜1 时，表示早期失效。当β =1，γ =0时，f (t) et ，为指 数分布，式中 1 为平均寿命。
维修度M(t)——产品在规定条件下进行修理时， 在规定时间内完成修复的概率。
对于可修复产品，只考虑其发生故障的概率显然 是不合适的，还应考虑被修复的可能性，衡量修复 可能性的指标为维修度，用M(t)表示
在维修性工程中，还有有效度A(t)、维修密度函
数m(t)、维修率μ(t)，
第一节 可靠性概述
F (t) = P (T≤t)
不可靠度具有下述性质：
F(t)
① 是非减函数；
② F(0)＝0，F(∞）＝1；
③ 0≤F（t)≤1.
第一节 可靠性概述
同样，不可靠度的估计值为：
F(t) N f (t) N f (t) N0 Ns (t)
Ns (t) N f (t) N0
N0
由于故障和不故障这两个事件是对立的，所以 R (t) + F (t) =1
故障率的单位一般采用10-5小时或10-9小时 (称10-9小时为1fit)。
故障率也可用工作次数、转速、距离等。
第一节 可靠性概述
3.维修性
维修性是指在规定条件下使用的产品，在规定 时间内按规定的程序和方法进行维修时，保持或 恢复到完成规定功能的能力。 维修度 有效度 最大维修时间 修复率 平均修复时间
第一节 可靠性概述
二、 可靠性的评价尺度
衡量产品可靠性的指标很多，各指标之间有着 密切联系，其中最主要的有四个，即：
可靠度R (t)、 不可靠度(或称故障概率)F (t)、 故障率λ (t) 平均寿命
第一节 可靠性概述
1.可靠度R (t)
可把靠产性品指在标规定的条件下和规定的时间内，完成

第三节 系统可靠性模型
可靠性模型指的是系统可靠性逻辑框图(也 称可靠性方框图)及其数学模型。原理图表示系 统中各部分之间的物理关系。而可靠性逻辑图 则表示系统中各部分之间的功能关系，即用简 明扼要的直观方法表现能使系统完成任务的各 种串—并—旁联方框的组合。
一、可靠性框图
系统的可靠性框图表示产品每次使用能成功地完成任务时 所有子系统或单元之间的相互依赖关系。
常用寿命分布函数
3.威布尔分布

威布尔分布应用比较广泛，常用来描述材
料疲劳失效、轴承失效等寿命分布的。
威布尔分布是用三个参数来描述，这三个参数 分别是尺度参数α，形状参数β、位置参数γ，其
概率密度函数为：
f (t) (t ) 1 e (t )
(t≥γ，α＞0，β＞0)
第一节 可靠性概述
一、可靠性的定义
定义：可靠性是指产品在规定的条件和规 定的时间内，完成规定功能的能力。
可靠性的四大要素： 可靠性对象：元件、零件、机器、设备或整个系统等产品 规定的条件：包括使用时的环境条件和工作条件。 规定的时间：规定的工作时间。 规定的功能：指产品规格书中给出的正常工作的性能指标
第一节 可靠性概述
可2靠.故性障指标率λ(t)
指产品工作到某个时刻尚未出现故障，在
该时刻之后单位时间内发生故障的概率。
第一节 可靠性概述
故故障障率率、λ故(障t)是密衡度量及可可靠靠性度的之一间个的重关要系指标，其
含义是产品工作到t时刻后的单位时间内发生故 障的概率，即产品工作到t时刻后，在单位时间 内发生故障的产品数与在时刻t时仍在正常工作 的产品数之比。λ (t)可由下式表示。
研究与提高产品的可靠性是要付出一定代价的。从生 产角度看，要增加产品的研制和生产的成本。但是，从 使用角度看，由于产品可靠性提高了，就大大减少了使 用费和维修费，同时还减少了产品寿命周期的成本。所 以，从总体上看，研究可靠性是有经济效益的。
第一节 可靠性概述
从政治方面考虑，无论哪个国家，产品的先进 性和可靠性对提高这个国家的国际地位、国际 声誉及促进国际贸易发展都起很大的作用。
第十章 可靠性设计与分析
第一节 可靠性概述 第二节 常见故障分布及其故障率函数 第三节 系统可靠性分析模型 第四节 可靠性分析方法 第五节 可靠性管理
本章教学要求 理解可靠性定义 掌握故障率曲线的三个阶段及其特点 了解系统可靠性模型
第一节 可靠性概述
可靠性工程发展及其重要性
例如，美国的宇宙飞船阿波罗工程有700万只元 器件和零件，参加人数达42万人，参予制造的 厂家达1万5千多家，生产周期达数年之久。象 这样庞大的复杂系统，一旦某一个元件或某一 个部件出现故障，就会造成整个工程失败，造 成巨大损失。所以可靠性问题特别突出，不专 门进行可靠性研究是难于保证系统可靠性的。
挑战者号宇航员
第一节 可靠性概述
可靠性工程的重要性主要表现在三个方面：
1. 高科技的需要 2. 经济效益的需要 3. 政治声誉的需要
总之，无论是人民群众的生活，国民经济建 设的需要出发，还是从国防、科研的需要出发， 研究可靠性问题是具有深远的现实意义。
第一节 可靠性概述

现代科技迅速发展导致各个领域里的各种
实际意义? 在“浴盆曲线”中，它是属于偶发期这一
时段的。
常用寿命分布函数
2.正态分布
正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如 材料强度、磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强 度以及难以判断其分布的场合。
若产品寿命或某特征值有故障密度
f (t)
1
(t )2
e 2 2
2
(t≥0，μ≥0，σ≥0)
f(t) α =2
α =1/3
α =1/2
α =1
t
不同α值的威布尔分布 （β=2，γ=0）
f(t)
β =3 β =2
β =1/2
β =1 t
不同β 值的威布尔分布 （ α =1，γ=0）
f(t) γ = - 0.5 γ =0 γ =0.5
γ =1
t 不同 γ值的威布尔分布 （ α =1， β
平均寿命是指产品从投入运行到发生故障的平均工作时 间。
对于不维修产品又称失效前平均时间MTTF(Mean time to failure)，