椭圆方程及性质的应用教学目标1. 掌握直线与椭圆的位置关系.(重点)2. 通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问 题•(重点)3•能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1点与椭圆的位置关系2 2设点 P(x o , y o )，椭圆彩 + 'b2= 1(a > b > 0).x 0 y 0x 2(1) 点P 在椭圆上？扌+学三1； (2)点P 在椭圆内？扌2 2(3)点P 在椭圆外?予+器> 1. 课堂练习2 2已知点(2,3)在椭圆m^s +*=1 上,【解析】 由椭圆的对称性知点(2,- 3)也在椭圆上. 【答案】 ④教材整理2直线与椭圆的位置关系 1. 直线与椭圆的位置关系及判定兀二次方程.位置关系 解的个数 △的取值相交 两解 A> 0相切一解注0直线y = kx + m 与椭圆字+古=1(a >b >0)联立 y = kx + m ,2 2笃+冷=1 ,a b '消去y 得一个则下列说法正确的是 ① 点(-2,3)在椭圆外 ② 点(3,2)在椭圆上 ③ 点(一2,- 3)在椭圆内④ 点(2,- 3)在椭圆上72. 弦长公式设直线y= kx+ b与椭圆的交点坐标分别为A(x i,y i),B(x2,y2),则AB|= 'l + k2 .1 + k? ly1—y2l.|X1 —X2|=判断(正确的打“v”，错误的打“x”)X2 y2(1) 点P(2,1)在椭圆4 + 9二1的内部.()(2) 过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.()2(3) 过点A(0,1)的直线一定与椭圆X2+与二1相交.()(4) 长轴是椭圆中最长的弦.()【答案】(1)X ⑵v⑶v⑷V例题分析(1)若直线 mx + ny = 4和。

O : x 2x 2y 2+ y 2 = 4没有交点，则过点P(m, n)的直线与椭圆-9 + +4 = 1的交点个数为()A.2个B.至多一个C.1个D.0个(2) 已知椭圆4x 2 + y 2= 1及直线y = x + m ,问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？【精彩点拨】利用几何法判断直线与椭圆的位置关系•【自主解答】4(1)若直线与圆没有交点，则 d = p-_- >2, 寸 m 2 + n 2 ••• m 2+ n 2v4,m 2 + n 2m 2 n 2即 4 v 1；. 9 + 4 v 1, •点(m , n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点.【答案】 A⑵将 y =x + m 代入 4x 2 + y 2= 1, 消去 y 整理得 5x 2 + 2mx + m 2 — 1 = 0. △二 4m 2— 20(m 2— 1) = 20— 16m 2. 当△二0时，得m=b ，直线与椭圆相切当A> 0时，得- -m v 三"，直线与椭圆相交•小结1•直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，△的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解.［再练一题］1. 已知椭圆的方程为x2+ 2y2=2.(1) 判断直线y=x+ .3与椭圆的位置关系；(2) 判断直线y = x+ 2与椭圆的位置关系；(3) 在椭圆上找一点P，使P到直线y=x+ 2的距离最小,并求出这个最小距离y=x+風［解］⑴由 2 2得3/ + 4 3x + 4= 0，x2+ 2y2= 2，•••g (4 3)2- 4X 3X 4= 0，A直线y= x+乜与椭圆相切.y= x+ 2，2⑵由 2 2得3x2+ 8x+ 6 = 0.x2+ 2y2= 2，•64 - 4X 3X 6=-8v 0，A直线y= x+ 2 与椭圆相离.⑶由⑴、⑵知直线y= x+ .3与椭圆的切点P满足条件，由⑴得P的坐标为护彳，最小距离d=|2-j= .2-尹2 2已知椭圆36^9 = 1和点P （4,2），直1线I 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.（1）当直线I 的斜率为1时，求线段AB 的长 度；⑵当P 点恰好为线段AB 的中点时，求I 的方程.【精彩点拨】 （1）设直线方程-联立方程组一利用弦长公式求解； ⑵考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.1【自主解答】 （1 ）由已知可得直线I 的方程为y — 2= 2（x — 4）,11y= 2X ,2即 y =^X .由 X 22可得 X — 18= 0,若设 A(X 1 , y“，B (X 2, y 2).⑵法一：设I 的斜率为k ,X 2 y 2 彳则其方程为y —2 = k (X —4).联立36936+ 9 = 1,则 X 1 + X 2= 0, X 1X 2=— 18.于是 =X 1— X 22+ 4X 1 — X 2 所以线段AB 的长度为 3.10.2 2 x 1 —X 2 + y 1— y 2X 1+ X 2 2 — 4X 1X 2 = ~25X 6 2 = 310.y—2= k X— 4 ,消去y 得(1 + 4k2)x2—(32k2—16k)x+ (64k2—64k—20)= 0.32k 2 — 16k若设 A(x 37, y 1), B(x 2, y 2)，则 x 1 + x 2 = 厂,1 + 4 k 22x i + x 216k — 8k由于AB 的中点恰好为P(4,2)，所以一^ =夕=4, 2 1 + 4k 21 1解得k = — 2，且满足A>0.这时直线的方程为y — 2= — 2(x — 4), 刚 1即 y = — 2x + 4.法二：设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), x 2 y 2 36+9 — 1, x 2—x 2 y 2 — y 2贝U 有 x 2 2两式相减得 —36 + ―9 — = 0,36+ 卷=1,37 1于是直线AB 的方程为y — 2= — 2(x — 4),即y = — ^x + 4. 小结1. 求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联 立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离 公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.2. 解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数， 利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 .⑵点差法：禾U 用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程， 然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)x 2 y 2是椭圆孑+話=1(a >b >0)上的两个不同的点，M(x o , y o )是线段AB 的中点，X 1 + x ? = 8, y 1 + y 2 = 4, 于是 k AB = —9X 8 36 X 4= 12,y2—y19 x2 + x1整理得k AB = =-x2 —x1由于P(4,2)是AB的中点,36 y2 + y11 1由①—②，得-2(x 38— x 2) + ^(y 2— y 2) = 0,a b于,且椭圆与直线x + 2y + 8二0相交于P,Q ,且|PQ|= 10,求椭圆的方程. 【解】 T e =中，b 2 = ^a 2.-椭圆方程为x 2 + 4y 2 = a 2 与 x + 2y + 8= 0 联立消去 y ,得 2x 2 + 16x + 64 — a 2= 0, 5由 A0得 a 2>32，由弦长公式得 10= 4X [64 — 2(64— a 2)].38 2••• a 2 = 36, b 2 = 9. •••椭圆的方程为 36+ ^9 = 1.探究 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这 类问题一般思路是什么？【提示】(1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数 的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法， 应用不等式的性质，以及三 角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围 . x 2 y 2(2)解决椭圆孑+器=1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有①一a < x < a ,— b < y < b ；②离心率O v e v 1 ；③一元二次方程有解， 则判别式A> 0.b 2 x i + x 2 b 2 x o b 2x o孑•+厂—孑亦，即kAB =—ay o变形得巳2二 [再练一题]1(a>b>0)的离心率为已知椭圆C: x2+ 2y2= 4.(1)求椭圆C 的离心率；⑵设0为原点，若点A在直线y= 2上，点B在椭圆C上，且0A丄0B, 求线段AB长度的最小值.【精彩点拨】(2)中，设A, B坐标一OA 0B= 0- AB|化为关于x o的函数一求最值.【自主解答】(1)由题意，椭圆C的标准方程为x+=i,所以a2= 4，b2= 2，从而c2= a2—b2= 2.因此a = 2，c= 2.c \[2故椭圆C的离心率e= a^y.⑵设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x o, y o)，其中X O M0.因为OA丄OB，所以OA OB=0，即tx o+ 2y o = 0，解得t=—弩.又x o+ 2y0 = 4，所以ABf= (x o—t)2+ (y o—2)2= x o+警2+ (y o —2)2入u4y0 24 —x0 2 4—x0x0 8 22 2=x0+ y0+ 恚 + 4 = x°+—+ —x§+ 4= 2 + x g+ 4(0< x o< 4).2 8因为10 +加4(0<x§<4)，且当x0= 4时等号成立，所以AB|2>8.故线段AB长度的最小值为2 2.小结解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不 等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等， 解决这类问题需要正确地应 用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根 与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数 的限制条件•［再练一题］3•已知椭圆 字+b 2 =1(a >b >0)的离心率为 屮，短轴的一个端点到右焦点的 距离为• .3，直线I : y = kx + m 交椭圆于不同的两点 A ，B.(1) 求椭圆的方程；(2) 若坐标原点O 到直线I 的距离为"^，求厶AOB 面积的最大值• 【解】⑴由|^36，a = V3，2所以c = 2, b = 1,所以椭圆的方程为X + 宀1. (2)由已知 J m ^-^23，所以 m 2= 4(1 + k 2)，+ k 2 2 42联立I : y = kx + m 和+ y 2 = 1，消去y ，整理可得：3 k 2+ 1 9k 2 + 112k 212=3+ 42= 3 + 書一＜ 4（心 0）， =9k +6k + 1 9k 2 + k 2+ 6k当且仅当k = ±33时取等号，验证知k =±f 满足题意,1y[3 \I 3显然 k = 0 时，|ABf = 3V 4•所以（S A AO E） max = 2X 2X-^ =-^.（1 + 3k 2）x 2 + 6kmx + 3m 2 — 3 = 0，所以 x 1 + x 2= —6km1 +X 1X 2 =3m 2— 3 1 + 3k 2' 所以 ABI 2=（1+r ）（x 1—X 2）2=12 1 + k 2 3k 2 + 1 — m 21 + 3k1 + 3k2 2【答案】2 22. 若直线y = kx + 2与椭圆青+号=1相切，则斜率k 的值是() 冷B.冷C. D.今X 2 V 2【解析】 把 y = kx + 2 代入-+ 专=1 得(2 + 3k 2)x 2 + 12kx + 6= 0,2 23. 直线y = x + 2与椭圆m +卷=1有两个公共点，则m 的取值范围是()y = x + 2,【解析】 由x 2 y 2+ 二=1 m 十 3 ',由 A>0 且 m H 3,得 m<0 或 m>1 且 m ^3, 又m>0, A m>1且m H 3.【答案】B2 24. 若过椭圆x6+ V4 = 1内一点(2,1 )的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程 是 ________ .x 2 y 2 x 2 V 2【解析】 设弦两端点A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，则届+ ；= 1,品+寸=1，两 y 4 — V 2 1 .,式相减并把X 1 + x 2 = 4, y 1 + y 2= 2代入得 =—2， A 所求直线方程为y — 1 =X 1 — x 2 24—$x — 2), 即卩 x + 2y — 4 = 0.【答案】 x + 2y — 4= 0=1有两个顶点在直线x + 2y = 2上，则该椭圆的焦点坐标是()A.( ±3, 0)B.(0, ± 3)C.( ± 5, 0)D.(0, ± 5)【解析】 •••直线 x + 2y = 2 过(2,0)和(0,1)点, 二 a =2, b = 1, A c = 3.椭圆焦点坐标为(土 3, 0).由于△二0, A k 2= 3, A k =【答案】 CA.m>1B.m>1 且 3C.m>3D.m>0 且 m ^ 3得(m + 3)x 2 + 4mx + m = 0.1.已知椭圆y x5. 如图2-1-4,已知斜率为1的直线I过椭圆专+ 二1的下焦点，交椭圆于A, B两点，求弦AB的长【解】令点A，B的坐标分别为A（x i，y i），B（X2, y2）.由椭圆方程知a2= 8，b2= 4, ••• c=「a2—b2= 2，•••椭圆的下焦点F的坐标为F（0，—2），•••直线过点B（2,0）和点F（0,—2）, •••直线I的方程为y= x— 2.2 2 4将其代入y+ 中=1,化简整理得3x2—4x—4= 0, ••• x i + x2= 4，x i x2= —§••• AB|=' x2 —x1 2+ y2 —y1 2=寸2 x2 —X1 2寸X1+ X22- 4X1x 4 3,。