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第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结 思考题
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一、极限存在准则
1.【夹逼准则】
【准则Ⅰ】 如果数列 xn , yn及 zn满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
2 作单位圆的切线，得ACO . 扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
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sin x x tan x, 即 cos x sin x 1,
x
上式对于
2
x
0也成立.当 0
x
x0 x 【解】 换元法
令 t arcsin x 则 x sin t
当 x 0 时，t 0 于是由复合函数的极限运算法则可得
lim arcsin x lim t 1
x0 x
t0 sin t
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(2)
lim(1 1 )x e
1
或 lim(1 x)x e
n2 n
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2.【单调有界准则】
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加
广义单调数列
x1 x2 xn xn1 , 单调减少
【准则Ⅱ】 单调有界数列必有极限.
【几何解释】
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
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教材 【例2】
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
2sin2 x
【解】原式 lim x0
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
2
1
sin lim(
x 2
)2
2 x0 x
2
1 12 1 .
2
2
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教材【例3】 求 lim arcsin x .
如 xn n
显有 xn1 xn 1 ①
记
lim
n
xn
lim
n
xn1
A
①式两端取极限后 得 A A 1
从而得 0 1 矛盾
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二、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
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C
B
o
x
D
A
设单位圆O, 圆心角AOB x, (0 x )
x x
x0
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1 型
【定义】 lim(1 1)n e
n
n
设
xn
(1
1 )n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2)(1 n 1).
2! n
n! n n
lim
n
zn
a,
那末数列 xn的极限存在,
且
lim
n
xn
a.
【证】 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
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当n N1时恒有 yn a ,
当n Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时恒有 zn a ,
取 N max{ N1, N2 },
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则.
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【补例1】 求 lim( 1 1 1 ).
式)的极限存在,并求此极限. xn1 3 xn
推 公
【证】 显然 xn1 xn , xn 是单调递增的 ;
式
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的 ;
lim n
xn
A 存在.
？ xn1
3 xn , xn21 3 xn注, 意到
n n2 1 n2 2
n2 n
【解】 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim
n
lim
1
1,
n n2 n n 1 1
lim
n
lim
1
n
1,
n n2 1
n
1
1 n2
由夹逼准则得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n
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类似地, x 1 1 1 (1 1 )
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n1
2! n 1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n 1)
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn , xn 是单调递增的;
上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
当n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
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【准则Ⅰ′】 如果当 x U ( x0 , ) (或 x M )时,有
时,
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin2 x 2( x)2 x2 ,
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lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
x0
lim cos x 1, 又lim1 1, lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
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相应地，函数极限也有类似的准则
【准则Ⅱ】（以 x x0 为例，叙述如下）
设函数f ( x)在点x0的某个左邻域内单调且有界 则f ( x)在x0的左极限f ( x0 )必定存在. 准则Ⅱ及 准则Ⅱ 统称为单调有界准则
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【补例2】证明数列 xn 3 3 3 (n重根 递
lim
n
xn
lim
n
xn1
lim
n
x
2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A,
解得 A 1 13 , 2
A
1 2
13(舍去)
lim n
xn
1 2
13 .
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【说明】 该方法只有在证明了极限存在时，才 能由递推公式，通过解方程的方法求 极限，否则可能导致荒谬的结论