又 故 而 从而 故上式恰有一解
即
故（8）中满足同余式（6）的全部整数是
其中， 故（8）恰好给出了同余式（6）的一个解
其中
例2解同余式
解经过验算， 有一解 又 以 代入 得
（10）
因 故（10）等价于
于是， 是 的一解。以 代入 得
故 为同余式的解。
习题
1.解同余式
（1）
解因 且 两两互质，故同余式（1）与同余式组
故 即 为同余式组(2)的第二个同余式的一个解。
因 不是5的倍数，故 中含有同余式组(2)的第二个同余式的一个解。以 代入同余式组(2)的第二个同余式，得 ，但 ，故
故 即 为同余式组(2)的第二个同余式的一个解。
因此，同余式组(2)的第二个同余式共有两个解：
故同余式（1）有 个解。即诸同余式组
的解。由孙子定理得
故 即 为同余式组(2)的第一个同余式的一个解。
因 不是3的倍数，故 中含有同余式组(2)的第一个同余式的一个解。以 代入同余式组(2)的第一个同余式，得
故 即 为同余式组(2)的第一个同余式的一个解。
因此，同余式组(2)的第一个同余式共有两个解：
通过验证，易得同余式
共有两个解：
因 不是5的倍数，故 中含有同余式组(2)的第二个同余式的一个解。以 代入同余式组(2)的第二个同余式，得
（2）
同解。容易验证，同余式组（2）的第一个同余式有两个解：即
第二个同余式有一个解：即
第三个同余式
故同余式（1）有 个解。即诸同余式组
的解。由孙子定理得
以 的值分别代入即得（1）的全部解：
2.解同余式
（1）
解因 故同余式（1）与同余式组
（2）
同解。
设 ，则 通过验证，易得同余式
共有两个解：
因 不是3的倍数，故 中含有同余式组(2)的第一个同余式的一个解。以 代入同余式组(2)的第一个同余式，得
其中，
证对 作数学归纳法。
（ⅰ）先证当 时，命题结论是正确的。
由（8），
（9）
将它代入
得
但 故
因 故对模 恰有一解
即
代入（9）得，（8）中满足 的全部整数是
其中，
故（8）恰好含有 的一个解
其中，
其中，
假设定理结论对 成立，即（8）恰含有
的一个解 ，即（8）中满足 的全部整数是
其中， 代入（6）得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ但 ，故
（ⅱ）设 对模 的 个解为
则同余式组（2）的解为下列诸同余式组
（3）
的解，其中 由孙子定理得，对于每一组 ，同余式组（3）对模 恰有一解
由上节定理2得，
为同余式（1）对模 的所有不同的解，个数恰为 故
例1解同余式
（4）
解同余式（4）等价于同余式组
（5）
可以验证同余式组（5）的第一个同余式的解为
同余式组（5）的第二个同余式的解为
以 的值分别代入即得（1）的全部解：
故同余式（4）有 个解。由孙子定理，可得同余式组
为
其中， 于是可得同余式（4）的全部解为
设 的标准分解式为 则同余式
与同余式组
等价。
故应讨论同余式
（6）
的解法。
易知，适合（6）的整数 必适合
（7）
下面考虑如何从同余式（7）的解求出同余式（6）的解。
定理2设
（8）
是同余式（7）的一个解， ，则（8）恰好含有同余式（6）的一个解
§3高次同余式的解数及解法
定理1若 是 个两两互质的正整数， 则同余式
（1）
与同余式组
（2）
等价。
以 表示同余式（1）的解数，以 表示同余式 的解数， 则
证（ⅰ）先证（1）和（2）等价。
设 是适合（1）的任一整数，则 因 故
故 也适合（2）。
反之，设 为适合（2）的任一整数，则
但 两两互质， 故
即 也适合（1）。