x1
7/6
8/6
9/6
10/6
11/6
2
f(x) 0 0.15415 0.28768 0.40547 0.51083 0.60614 0.69315
S3=1/6×1/3[0+4×(0.15415+0.40547+0.60614)+2×(0.28768+0.51083)+0.69315]
≈0.38629
故
2h 2h
f
( x)dx
A1
f
(h)
A0
f
(0)
A1
f
(h)
成立。
令 f (x) x4 ，则
故此时，
2h f (x)dx 2 h
2h 2 h
x4dx
64 5
h5
A1
f
(h)
A0
f
(0)
A1
f
(h)
16 3
h5
2h 2 h
f
( x)dx
A1
f
(h)
A0
f
(0)
A1
f
(h)
因此，
2h 2 h
A1 A0 A1 h ( A1 A1 )
4 0
h
h
2
(
A
1
A1 )
16h3
/
3
解得 A-1=A1=8h/3, A0= - 4h/3
显然所求的求积公式至少具有两次代数精确度，又有
令 f (x) x3 ，则
2h f (x)dx 2h x3dx 0
2 h
2 h
A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) 0
)
h3
（3）取 x0 0.01， x1 0.02 ， x2 0.03 ，将有关数据代入上式，
f
(x0 )
1 2h
3
f
x0
4
f
x1
f
x2
计算得
f (0.01) 0.999984050
2. 解：（1）正弦函数的泰勒展式为
sin
x
x
x3 3!
x5 5!
......
则
pn
n sin
/
第六章 数值微分与数值积分参考解答
1. 解：（1）插值方法
由 Langrange 插值知
f
(x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
f
( x0 )
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
f
( x1)
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
x
x0
)(
x
x2
)
(
x
x0
)(x
x1
)
取 x x0 ，略去高阶项，则
f
(x0 )
1 2h
3
f
x0
4
f
x1
f
x2
（2）泰勒展开方法
f (x1)
f (x0 )
f (x0 )h
f
( x 2!
0
)
h2
f
( x0 3!
)
h3
f (x2 )
f (x0 ) 2hf (x0 )
f
( x0 2!
2h]
得 α=1/12。 显然：
h 0
x3dx
h 2
[0
h3 ]
h2 12
[0
3h2
]
h 0
x4dx
h 2
[0
h4
]
h2 12
[0
4h3 ]
故
h 0
f
(x)dx
h 2
[
f
(0)
f
(
h
)]
h2 12
[
f
(0)
f
(h)] 具有三次代数精确度。
5．解：(1) 取 7 个等距节点（包括区间端点），将函数值列表如下：
2
4
2.422103 2.422830 2.421608
3
8
2.422112 2.422115 2.422067 2.422074
4
16
2.422112 2.422112 2.422112 2.422113
故取 I=2.422113，周长为 l=4I=9.688。
)
(2h)2
f
( x0 3!
)
(2h)3
，则
4f
x1
f
x2 4( f (x0 )
f (x0 )h
f
(x 2!
0
)
h2
f
(x0 3!
)
h3
)
( f (x0 ) 2hf (x0 )
f
(x0 2!
)
(2h)2
f
(x0 3!
)
(2h)3
)
解之即得。
3
f
(
x0
)
2hf
(
x0
)
2
f
( 3
x0
f
(4)
(x)
6 x4
,
f (4) ( )
6.
令
RN
[
f
]
1 2
10 4
，得
N

≥2.54.
取 N=3,则至少要取 2N+1=7 个节点处的函数值。
(2)用复化辛 浦生公式计算：
6. 解：按照事后误差估计公式
I
T2n
1 3
(T2n
Tn ),
T2n
1 2 Tn
hn 2
n1 k 0
f
(
x
k
1 2
(3)由对数函数的图像知，
2 ln 1
xdx
1 2
ln
2
0.3466,
2 ln xdx ln 2 0.6931，
1
因此，结果具有
4
位有效数字即是要求近似值的绝对误差限小于
1 2
100
4
RN
[
f
]
ba 2880
h4
f
(4)
()
1 2880N
4
f (4) (),
1 2
f ( x) ln x,
0.94608693 0.00000393<10-5
0.00039245<10-
3 8 0.94569086
0.94608331 0.00000024
3
因此，由梯形公式得 I ≈ T8=0.94569086,精确到 10-3；由辛浦生公式得到 I ≈ S2=0.94608693，精确到 10-5。若取 I ≈ S4=0.94608331，则精确到 10-6。 精确到 10-3 的结果为 I ≈ 0.946。 7. 解：解：采用极坐标系，令 x=2cos，y=sin，则椭圆的周长为
l 4 2 0
4 2 0
x2 y2 d 1 3sin2 d 4I
由于 2
2 0
1 3 sin 2 d
2
2
，因此要求结果有四位有效数字，需截断误差≤1/2×10-3。列
表计算如下：
k 等分 2k
T2 k
S 2k 1
C 2k2
R2 k 3
0
1
2.356194
1
2
2.419921 2.441163
)(
x
x1
)(
x
x2
)
对上式两端求导，可求得
f (x)
f
(x0 )
(x
x1) (x 2h2
x2 )
f
( x1 )
(x
x0 ) (x h2
x2 )
f
(x2 ) (x
x0 ) (x 2h2
x1)
(x
x0
)(x
x1)(x
x2
)
d dx
f
( ) 3!
f
( 3!
)
(
x
x1
)(x
x2
)
(
f
( x2 )
对于等距节点
f
3!
(
x
x0
)(
x
x1
)(
x
x2
)
( x0, x2 )
x0 ， x1 x0 h， x2 x0 2h ，有
f
(x)
f
( x0 )
(x
x1)(x 2h2
x2 )
f
(x1)
(x
x0 )(x h2
x2 )
f
(x2)
(x
x0 )(x 2h2
x1)
f
( 3!
)
(
x
x0
n
n( n
1 3! n
3
1 5! n
5
......)
( 3 3!
)( 1 )2 n
( 5)( 1 )4 5! n
......
( 3 3!
)h2
(
5 5!
)h4
......
易知， a0
（2）
pn (h) a1h2 a2h4 ,
p2n
(
h 2
)
a1
(
h 2
)2
a2
(
h 2
)4
,
f
( x)dx
A1
f
(h)
A0
f
(0)
A1
f
(h)
具有